14.2 勾股定理的应用(1)
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文档简介
14.2 勾股定理的应用（1）
教学目标
知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．
情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．
重点、难点、关键
重点：勾股定理及逆定理的应用．
难点：勾股定理的正确使用．
关键：在现实情境中捕抓直角三角形，确定好直角三角形之后，再应用勾股定理．
教学准备
教师准备：投影片、直尺、圆规．
学生准备：复习勾股定理及逆定理，自制课本图14．2．1图．
教学过程
一、创设情境
1．问题情境：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一点蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线段，你认为哪条路线最短呢？图（a）所示．
（2）如图（b），将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
2．思路点拨：引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，此时学生发现了“两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论，较易解决问题．
教师活动：操作投影仪，启发、引导学生动手操作，通过感性认识来突破学生空间想像的难点．
学生活动：观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解，寻求解决问题的途径．
媒体使用：投影显示“问题情境”．
二、范例学习
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如课本P58图14．2．3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
( http: / / )
思路点拨：厂门的宽度是够的，这个问题的关键是观察当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．寻找出Rt△OCD，运用勾股定理求出CD==0.6，CH=0.6+2.3=2.9>2.5，可见高度上还有余0.4米，因此，卡车能顺利进门．
教师活动：分析例2，帮助学生寻找Rt△OCD，强调应用方法．
学生活动：听教师分析，积累实际应用经验．
媒体使用：投影显示例2．
教学形式：接受式．
引导学生完成课本P58“做一做”．
课堂演练
演练一：从地图上看（如图所示），南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形．从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BAC（约1.36km）和AC（约2.95km）减少多少行程（精确到0.1km）？
思路点拨：这是一道比较题，首先应确定Rt△ABC为计算BC长的三角形，应用勾股定理求出BC= HYPERLINK "http://" ≈2.62（km），然后将BA+AC算出约4.31km，减去BC约1.7km，问题解决．
演练二：若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．
请你判断△ABC的形状．
思路点拨：根据所给条件，只有从所给的关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，a2+b2+c2-10a-24b-26c+338=0．
a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0
∴（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0
即a=5，b=12，c=13
∵a2+b2=52+122=132=c2
∴△ABC是直角三角形．
教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练”，启发、引导学生．
学生活动：先独立完成，再有困难时，寻求同伴的帮助，通过交流，解决问题．
三、随堂练习
课本P58练习第1，2题．
2．探研时空．
《九章算法》中的“折竹问题”如下：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”（如图所示）题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．
学生活动：先独立解题，再踊跃上台演示．
如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．
（1）如果剪4刀，应如何剪拼？
（2）少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？
( http: / / )
教师活动：操作投影仪，引导学生动手操作，感受方法．
学生活动：分小组合作交流，得到答案．
四、课堂总结
由学生分小组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾股定理的应用方法．
五、布置作业
1．课本P60习题14．2第1，2，3题．
2．选用课时作业设计．
六、课后反思（略）
第一课时作业设计
一、填空题
1．若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是______三角形．
2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AC：AB=________．
3．若△ABC中，a=12k，b=5k，c=13k（k>0），则△ABC为________三角形．
4．已知三角形的三条边长分别为41，40，9，则此三角形的面积为________．
5．△ABC的三边长分别是15，20，25，那么△ABC是_______三角形．
6．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠A：∠B=2：5，过C点作△ABC的高CD，与AB交于D点，则CD=_______．
7．设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____．
二、选择题
8．如图所示，正方形ABCD的边长为1cm，以对角线AC为边长再作一个正方形，则正方形ACEF的面积是（ ）．
A．2cm2 B．3cm2 C．5cm2 D．4cm2
9．如果梯子的底端建筑物有5m，15m长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（ ）．
A．13m B．14m C．15m D．16m
10．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，15
11．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）．
A．12.5 B．12 C． D．9
12．以下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2，a+1
D．a-1，a，a+1
13．以下列各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
A．，，2 B．7，24，25
C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5
三、解答题
14．在△ABC中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC边上的高AE的长．
15．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求AC，AB的长．
( http: / / )
16．如图所示，点阵中以相邻4个点为顶点的小正方形面积为1，计算△ABC的周长和面积．（精确到0.1）
17．如图所示，是一个边长为a厘米的正方形，两条对角线AC与BD相交于O，观察此图，回答下面问题：
（1）线段AC的长是多少？
（2）图中有多少个直角三角形？
18．有一棵树较高（如图所示），无法直接量出它的高度，现给你一个能测仰角的仪器和一根皮尺，你能测出这棵树的高度吗？
( http: / / )
四、应用题
19．电工师傅把4米长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5米，准备在墙上安装电灯，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯子脚往墙脚移近0.5米（如图所示），那么，梯子顶端是否往上移动0.5米呢？
20．已知三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，那么，三边长分别为a+1，b+1，c+1的三角形是否也是直角三角形呢？说明理由．
21．求下图（a～b）中字母所代表的正方形面积．
22．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走1小时后乙出发，乙以5千米/时的速度向北行走，上午10：00，甲、乙两人相距多远？
23．在一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？（如图14-2-12所示）
( http: / / )
答案:
一、1．直角 2．1：：2 3．直角 4．360 5．直角 6．2cm 7．6
二、8．A 9．B 10．C 11．B 12．B 13．D
三、14． 16．动手操作
17．（1）a （2）有8个直角三角形
18．量出树顶一仰角为60°，则在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
量出CB的距离，用勾股定理就能算出树的高度．
四、19．0.16米
梯子顶端A不是移动0.5米，因为在Rt△ABC中，AC=4，BC=1.5，
根据勾股定理，AB=≈3.71，
在Rt△A′BC′中，A′C′=4，BC′=1，
故A′B=≈3.87，从而A′A=3.87-3.71=0.16，
即梯子顶端A向上移动0.16米．
20．不会是直角三角形.
由题设知a2+b2-c2=0，∴（a+1）2+（b+1）2-（c+1）2=2（a+b-c）+1
而a+b>c，∴（a+1）2+（b+1）2≠（c+1）2．
21．625 22．13千米
23．17cm.
蚂蚁自A点出发，沿长方体表面爬到B处，要在曲面上找最短路径十分困难， 而在平面上找两点间的最短路径是较容易的，如图，AB长为A到B的最短距离．
在Rt△ABD中，AD=AN+ND=15，BD=8，
由勾股定理得AB2=AD2+BD2=289，所以AB=17．
因此，蚂蚁爬行的最短路径为17cm．
教学目标
知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．
情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．
重点、难点、关键
重点：勾股定理及逆定理的应用．
难点：勾股定理的正确使用．
关键：在现实情境中捕抓直角三角形，确定好直角三角形之后，再应用勾股定理．
教学准备
教师准备：投影片、直尺、圆规．
学生准备：复习勾股定理及逆定理，自制课本图14．2．1图．
教学过程
一、创设情境
1．问题情境：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一点蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线段，你认为哪条路线最短呢？图（a）所示．
（2）如图（b），将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
2．思路点拨：引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，此时学生发现了“两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论，较易解决问题．
教师活动：操作投影仪，启发、引导学生动手操作，通过感性认识来突破学生空间想像的难点．
学生活动：观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解，寻求解决问题的途径．
媒体使用：投影显示“问题情境”．
二、范例学习
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如课本P58图14．2．3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
( http: / / )
思路点拨：厂门的宽度是够的，这个问题的关键是观察当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．寻找出Rt△OCD，运用勾股定理求出CD==0.6，CH=0.6+2.3=2.9>2.5，可见高度上还有余0.4米，因此，卡车能顺利进门．
教师活动：分析例2，帮助学生寻找Rt△OCD，强调应用方法．
学生活动：听教师分析，积累实际应用经验．
媒体使用：投影显示例2．
教学形式：接受式．
引导学生完成课本P58“做一做”．
课堂演练
演练一：从地图上看（如图所示），南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形．从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BAC（约1.36km）和AC（约2.95km）减少多少行程（精确到0.1km）？
思路点拨：这是一道比较题，首先应确定Rt△ABC为计算BC长的三角形，应用勾股定理求出BC= HYPERLINK "http://" ≈2.62（km），然后将BA+AC算出约4.31km，减去BC约1.7km，问题解决．
演练二：若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．
请你判断△ABC的形状．
思路点拨：根据所给条件，只有从所给的关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，a2+b2+c2-10a-24b-26c+338=0．
a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0
∴（a-5）2=0，（b-12）2=0，（c-13）2=0
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0
即a=5，b=12，c=13
∵a2+b2=52+122=132=c2
∴△ABC是直角三角形．
教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练”，启发、引导学生．
学生活动：先独立完成，再有困难时，寻求同伴的帮助，通过交流，解决问题．
三、随堂练习
课本P58练习第1，2题．
2．探研时空．
《九章算法》中的“折竹问题”如下：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”（如图所示）题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．
学生活动：先独立解题，再踊跃上台演示．
如图所示，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．
（1）如果剪4刀，应如何剪拼？
（2）少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？
( http: / / )
教师活动：操作投影仪，引导学生动手操作，感受方法．
学生活动：分小组合作交流，得到答案．
四、课堂总结
由学生分小组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾股定理的应用方法．
五、布置作业
1．课本P60习题14．2第1，2，3题．
2．选用课时作业设计．
六、课后反思（略）
第一课时作业设计
一、填空题
1．若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是______三角形．
2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AC：AB=________．
3．若△ABC中，a=12k，b=5k，c=13k（k>0），则△ABC为________三角形．
4．已知三角形的三条边长分别为41，40，9，则此三角形的面积为________．
5．△ABC的三边长分别是15，20，25，那么△ABC是_______三角形．
6．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠A：∠B=2：5，过C点作△ABC的高CD，与AB交于D点，则CD=_______．
7．设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____．
二、选择题
8．如图所示，正方形ABCD的边长为1cm，以对角线AC为边长再作一个正方形，则正方形ACEF的面积是（ ）．
A．2cm2 B．3cm2 C．5cm2 D．4cm2
9．如果梯子的底端建筑物有5m，15m长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（ ）．
A．13m B．14m C．15m D．16m
10．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，15
11．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）．
A．12.5 B．12 C． D．9
12．以下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2，a+1
D．a-1，a，a+1
13．以下列各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
A．，，2 B．7，24，25
C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5
三、解答题
14．在△ABC中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC边上的高AE的长．
15．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求AC，AB的长．
( http: / / )
16．如图所示，点阵中以相邻4个点为顶点的小正方形面积为1，计算△ABC的周长和面积．（精确到0.1）
17．如图所示，是一个边长为a厘米的正方形，两条对角线AC与BD相交于O，观察此图，回答下面问题：
（1）线段AC的长是多少？
（2）图中有多少个直角三角形？
18．有一棵树较高（如图所示），无法直接量出它的高度，现给你一个能测仰角的仪器和一根皮尺，你能测出这棵树的高度吗？
( http: / / )
四、应用题
19．电工师傅把4米长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5米，准备在墙上安装电灯，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯子脚往墙脚移近0.5米（如图所示），那么，梯子顶端是否往上移动0.5米呢？
20．已知三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，那么，三边长分别为a+1，b+1，c+1的三角形是否也是直角三角形呢？说明理由．
21．求下图（a～b）中字母所代表的正方形面积．
22．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走1小时后乙出发，乙以5千米/时的速度向北行走，上午10：00，甲、乙两人相距多远？
23．在一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？（如图14-2-12所示）
( http: / / )
答案:
一、1．直角 2．1：：2 3．直角 4．360 5．直角 6．2cm 7．6
二、8．A 9．B 10．C 11．B 12．B 13．D
三、14． 16．动手操作
17．（1）a （2）有8个直角三角形
18．量出树顶一仰角为60°，则在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
量出CB的距离，用勾股定理就能算出树的高度．
四、19．0.16米
梯子顶端A不是移动0.5米，因为在Rt△ABC中，AC=4，BC=1.5，
根据勾股定理，AB=≈3.71，
在Rt△A′BC′中，A′C′=4，BC′=1，
故A′B=≈3.87，从而A′A=3.87-3.71=0.16，
即梯子顶端A向上移动0.16米．
20．不会是直角三角形.
由题设知a2+b2-c2=0，∴（a+1）2+（b+1）2-（c+1）2=2（a+b-c）+1
而a+b>c，∴（a+1）2+（b+1）2≠（c+1）2．
21．625 22．13千米
23．17cm.
蚂蚁自A点出发，沿长方体表面爬到B处，要在曲面上找最短路径十分困难， 而在平面上找两点间的最短路径是较容易的，如图，AB长为A到B的最短距离．
在Rt△ABD中，AD=AN+ND=15，BD=8，
由勾股定理得AB2=AD2+BD2=289，所以AB=17．
因此，蚂蚁爬行的最短路径为17cm．