2.2 用配方法解一元二次方程 配方法的应用 专题提升训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册第2章《配方法的应用》 专题提升训练（附答案）
1．一同学将方程x2﹣4x﹣3＝0化成了（x+m）2＝n的形式，则m、n的值应为（　　）
A．m＝﹣2，n＝7 B．m＝2．n＝7 C．m＝﹣2，n＝1 D．m＝2．n＝﹣7
2．代数式x2﹣4x+5的最小值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．5
3．若x2+mx+19＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣4 D．4
4．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则ab的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9
5．已知代数式x2﹣4x+7，则（　　）
A．有最小值7 B．有最大值3
C．有最小值3 D．无最大值和最小值
6．已知：a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b+c的值等于（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
7．用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（　　）
A．（a+2）2﹣1 B．（a+2）2﹣5 C．（a+2）2+4 D．（a+2）2﹣9
8．已知，则的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．
9．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
10．不论a为何实数，代数式a2﹣4a+5的值一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定
11．若x2+ax＝（x+）2+b，则a，b的值为（　　）
A．a＝1，b＝ B．a＝1，b＝﹣ C．a＝2，b＝ D．a＝0，b＝﹣
12．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8≤c＜13 D．5＜c＜13
13．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　 　．
14．代数式x2+8x+5的最小值是　 　．
15．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为　 　．
16．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣y+5的最小值是　 　．
17．已知10x2﹣6xy+y2﹣2x+1＝0，则（x﹣y）2021＝　 　．
18．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．
19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
20．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
21．阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，
所以（x﹣2）2+1≥1，
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式x2+6x+12的最小值为　 　；
（2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值；
（3）试比较代数式3x2﹣2x与2x2+3x﹣7的大小，并说明理由．
22．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为　 　；当x＜0时，的最大值为　 　．
（2）当x＞0时，求的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
23．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下：
∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；
∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．
（1）仿照上述方法求代数式x2+10x+7的最小值；
（2）代数式﹣a2﹣8a+16有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值．
24．何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0所以m＝﹣3，n＝3
为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a，b满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求2a+b的值．
参考答案
1．解：∵（x+m）2＝n可化为：x2+2mx+m2﹣n＝0，
∴，解得：．
故选：A．
2．解：∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5的最小值为1．
故选：B．
3．解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，
∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，
∴m＝﹣10，25﹣n＝19，
解得，m＝﹣10，n＝6，
∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，
故选：C．
4．解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，
即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，
可得a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
则原式＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
5．解：x2﹣4x+7
＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+3≥3，
∴代数式x2﹣4x+7有最小值3，
故选：C．
6．解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b+c＝3+（﹣1）+1＝3，
故选：D．
7．解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣4﹣5＝（a+2）2﹣9，
故选：D．
8．解：∵，
∴m2+n2＝4n﹣4m﹣8，
∴（m2+4m+4）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
∴m+2＝0，n﹣2＝0，
解得m＝﹣2，n＝2，
∴
＝﹣+
＝0．
故选：B．
9．解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，
解得a＝1，b＝4，
∵3＜c＜5，
∵△ABC是等腰三角形，
∴c＝4．
故△ABC的周长为：1+4+4＝9．
故选：B．
10．解：a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+1＞0，
即数式a2﹣4a+5的值一定是正数．
故选：A．
11．解：∵（x+）2+b＝．
∴ax＝x，．
∴a＝1，b＝﹣．
故选：B．
12．解：∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣16b+64）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣8＝0，
∴a＝5，b＝8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b﹣a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8≤c＜13．
故选：C．
13．解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，
∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．
故答案为：4．
14．解：∵x2+8x+5＝（x2+16x）+5＝（x2+16x+64﹣64）+5，
x2+8x+5＝[（x+8）2﹣64]+5＝（x+8）2﹣27，
∵（x+8）2≥0，
∴代数式x2+8x+5的最小值是﹣27．
15．解：a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
当a是腰长时，等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，
当b是腰长时，等腰三角形的周长＝3+4+4＝11，
故答案为：10或11．
16．解：y2﹣y+5＝y2﹣y++＝（y﹣）2+≥，
则代数式y2﹣y+5的最小值是．
故答案为：．
17．解：∵10x2﹣6xy+y2﹣2x+1＝0，
∴（9x2﹣6xy+y2）+（x2﹣2x+1）＝0，
（3x﹣y）2+（x﹣1）2＝0，
∴3x﹣y＝0，x﹣1＝0，
解得x＝1，y＝3，
∴（x﹣y）2021＝（1﹣2）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0，
∴（a+3b）2+（b+1）2＝0，
∴a+3b＝0，b+1＝0，
解得b＝﹣1，a＝3，
则a﹣b＝4；
（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3＝7；
（3）∵x+y＝2，
∴y＝2﹣x，
则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5，
∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0，
∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0，
则x﹣1＝0，z+2＝0，
解得x＝1，y＝1，z＝﹣2，
∴xyz＝﹣2．
19．解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，
则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
20．解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
＝x2﹣2x+2
＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
故答案为：﹣2，1．
21．解：（1）x2+6x+12
＝（x+3）2+3，
当x＝﹣3时，（x+3）2+3＝3，
因此（x+3）2+3有最小值3，即代数式x2+6x+12的最小值为 3；
故答案是：3．
（2）∵﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣1）2+10
由于（x﹣1）2≥0，所以﹣（x﹣1）2≤0
当x＝1时，﹣（x﹣1）2＝0，
则﹣x2+2x+9最大值为10；
（3）∵（3x2﹣2x）﹣（2x2+3x﹣7）
＝x2﹣5x+7＝
由于
∴，即3x2﹣2x＞2x2+3x﹣7．
22．解：（1）当x＞0时，≥2＝2；
当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）
∵﹣x﹣≥2＝2
∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2
∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．
故答案为：2；﹣2；
（2）由，
∵x＞0，
∴，
当时，最小值为11．
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：9＝4：S△AOD
∴：S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25
当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
23．解：（1）∵x2+10x+7＝x2+10x+25﹣18＝（x+5）2﹣18，由（x+5）2≥0，
得（x+5）2﹣18≥﹣18；
∴代数式x2+10x+7的最小值是﹣18；
（2）﹣a2﹣8a+16＝﹣a2﹣8a﹣16+32＝﹣（a+4）2+32，
∵﹣（a+4）2≤0，
∴﹣（a+4）2+32≤32，
∴代数式﹣a2﹣8a+16有最大值，最大值为32．
24．解：（1）∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，
∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，
即 （x﹣2y）2+（y+1）2＝0，（x﹣2y）2＝0；（y+1）2＝0
解得 x＝﹣2，y＝﹣1，
∴xy＝（﹣2）﹣1＝﹣
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61
∴a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0
∴a＝5，b＝6，
∴2a+b＝2×5+6＝16．