第14章 勾股定理小结与复习
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第14章 勾股定理小结与复习
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．
过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
重点、难点、关键
重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．
难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
教学准备
教师准备：投影仪，补充资料．
学生准备：写一份单元复习小结．
教学设计
教学过程
一、回顾与交流
1．重点精析
勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
2．例题精讲
例 在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．
教师分析：因为Rt△的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．
解：∵a+b=p，c=q，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2
a2+b2=q2（勾股定理）
∴2ab=p2-q2
∴SRt△ABC=ab=（p2-q2）（厘米2）
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．
媒体使用：投影显示例题．
教学形式：师生互动．
3．课堂演练
演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？
思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．
演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．
思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．
参考答案：480m．
演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．
思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．
参考答案：b=或．
演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？
( http: / / )
思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．
4．难点精析
勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）先确定最大边（如c）；
（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．
此时情况有两种：
（1）当a2+b2>c2时，三角形为锐角三角形；
（2）当a2+b25．范例精讲
例 如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．
教师分析：要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长．
解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，
所以BD=DC=BC=10
因为AD2+BD2=576+100=676，
AB2=262=676，
AD2+BD2=AB2
所以∠ADB=90°，即AD⊥BC．（勾股逆定理）
在Rt△ADC中
AC==26（勾股定理）
评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD垂直平分BC，所以AC=AB=26．
6．课堂演练
演练一：在数轴上作表示-的点．
思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A，以O（原点）为圆心，OA为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．
演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？
( http: / / )
思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？
演练三：设△ABC的3条边长分别是a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（1）填表：
n a b c a2+b2 c2 △ABC是不是直角三角形
2 3 4 5 25 25
3
4
5
6
… … … … … … …
（2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？
（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n倍呢？为什么？
（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？
演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？
教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．
学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．
媒体使用：投影显示“演练题”．
教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．
二、构筑知识系
A.
B. ( http: / / )
三、随堂练习
课本P62复习题第4，7，10，11题．
四、布置作业
1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题．
2．选用课时作业设计．
五、课后反思（略）
课时作业设计
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°．
（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．
（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．
（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．
2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．
3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．
4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________．
二、选择题
5．在下列说法中是错误的（ ）．
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若a=c，b=c，则△ABC为Rt△
D．在△ABC中，若a：b：c=2：2：4，则△ABC为直角三角形
6．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．5cm C．cm
7．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）．
A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，b=2，c=6
C．a=，b=1，c= D．a=2，b=3，c=
8．有四个三角形：
（1）△ABC的三边之比为3：4：5；
（2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13；
（3）△A″B″C″的三个内角之比为1：2：3；
（4）△CDE的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（ ）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
三、解答题
9．如果3条线段的长a，b，c满足c2=a2-b2，那么这3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由．
11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积．
( http: / / )
12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？
四、探究题
13．如图所示，在一块正方形ABCD的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=BC，然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．
( http: / / )
14．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
求：（1）折叠后DE的长；
（2）以折痕EF为边的正方形面积．
答案:
一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8
二、5．B 6．D 7．B 8．D ()
三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2 12．12米
四、13．方案正确，理由:
裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2．
∴AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°，
∴△AFE是直角三角形．
14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，
那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-（9-x）2=32，
故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，
连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，
∴以EF为边的正方形面积为144cm2．
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．
过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
重点、难点、关键
重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．
难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
教学准备
教师准备：投影仪，补充资料．
学生准备：写一份单元复习小结．
教学设计
教学过程
一、回顾与交流
1．重点精析
勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
2．例题精讲
例 在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．
教师分析：因为Rt△的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．
解：∵a+b=p，c=q，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2
a2+b2=q2（勾股定理）
∴2ab=p2-q2
∴SRt△ABC=ab=（p2-q2）（厘米2）
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．
媒体使用：投影显示例题．
教学形式：师生互动．
3．课堂演练
演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？
思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．
演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．
思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．
参考答案：480m．
演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．
思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．
参考答案：b=或．
演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？
( http: / / )
思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．
4．难点精析
勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）先确定最大边（如c）；
（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．
此时情况有两种：
（1）当a2+b2>c2时，三角形为锐角三角形；
（2）当a2+b2
例 如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．
教师分析：要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长．
解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，
所以BD=DC=BC=10
因为AD2+BD2=576+100=676，
AB2=262=676，
AD2+BD2=AB2
所以∠ADB=90°，即AD⊥BC．（勾股逆定理）
在Rt△ADC中
AC==26（勾股定理）
评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD垂直平分BC，所以AC=AB=26．
6．课堂演练
演练一：在数轴上作表示-的点．
思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A，以O（原点）为圆心，OA为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．
演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？
( http: / / )
思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？
演练三：设△ABC的3条边长分别是a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（1）填表：
n a b c a2+b2 c2 △ABC是不是直角三角形
2 3 4 5 25 25
3
4
5
6
… … … … … … …
（2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？
（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n倍呢？为什么？
（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？
演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？
教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．
学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．
媒体使用：投影显示“演练题”．
教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．
二、构筑知识系
A.
B. ( http: / / )
三、随堂练习
课本P62复习题第4，7，10，11题．
四、布置作业
1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题．
2．选用课时作业设计．
五、课后反思（略）
课时作业设计
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°．
（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．
（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．
（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．
2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．
3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．
4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________．
二、选择题
5．在下列说法中是错误的（ ）．
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若a=c，b=c，则△ABC为Rt△
D．在△ABC中，若a：b：c=2：2：4，则△ABC为直角三角形
6．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．5cm C．cm
7．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）．
A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，b=2，c=6
C．a=，b=1，c= D．a=2，b=3，c=
8．有四个三角形：
（1）△ABC的三边之比为3：4：5；
（2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13；
（3）△A″B″C″的三个内角之比为1：2：3；
（4）△CDE的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（ ）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
三、解答题
9．如果3条线段的长a，b，c满足c2=a2-b2，那么这3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由．
11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积．
( http: / / )
12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？
四、探究题
13．如图所示，在一块正方形ABCD的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=BC，然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．
( http: / / )
14．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
求：（1）折叠后DE的长；
（2）以折痕EF为边的正方形面积．
答案:
一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8
二、5．B 6．D 7．B 8．D ()
三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2 12．12米
四、13．方案正确，理由:
裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2．
∴AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°，
∴△AFE是直角三角形．
14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，
那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-（9-x）2=32，
故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，
连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，
∴以EF为边的正方形面积为144cm2．