25.6相似三角形的应用同步达标测评 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.6相似三角形的应用》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径AB＝（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
2．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（　　）
A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm
3．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
4．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝（　　）
A．6m B．8m C．9m D．16m
5．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（　　）
A．12米 B．12.5米 C．14米 D．15米
6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）
A．20m B．30m C．40m D．60m
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　）
A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m
9．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）
A．16 B．24 C．30 D．36
10．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别位于AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH的长为（　　）
A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是　 　．
12．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为　 　米．
13．如图所示，D、E之间要挖建一条直线隧道，为计算隧道长度，工程人员在线段AD和AE上选择了测量点B，C，已知测得AD＝100，AE＝200，AB＝40，AC＝20，BC＝30，则通过计算可得DE长为　 　．
14．如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C观测A、B两点，并使∠ACB＝90°，若CD⊥AB，垂足为D，测得AD＝10m，AC＝24m，根据所测得的数据可算出A、B之间的距离是　 　．
15．我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 　 　尺．
16．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是　 　米．
17．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使得AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则两岸间的大致距离AB为　 　米．
三．解答题（共8小题，满分52分）
18．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽DE＝2.7m，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝8.7m，窗高AB＝1.8m，那么窗口底边离地面的高度BC是多少？
19．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下一段亮区．已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝3.6m，窗高AB＝1.2m，窗口底边离地面的高度BC＝1.5m，求亮区ED的长．
20．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M，已知AB＝10m，CD＝15m，求点M离地面的高度MH．
21．如图，小明测得树AB落在水平地面上的影长BC为 2.4 米，落在坡面上的影长CE为3.2米，身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为2米．已知坡面的铅直高度CH与水平距离DH的比为3：4，试求树AB的高度．
22．同一时刻甲、乙两组同学在阳光下进行测量，甲组将一根长为2.4m的竹竿EF直立于平地，测得竹竿的影长FG为1.8m；摩天轮的立柱OB直立于平地，乙组测得立柱OB的影长BC为36m，摩天轮在立柱右侧影子的边缘D与立柱OB相距86m，求摩天轮的半径和最高点A的高．
23．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．
（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？
24．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．
25．小明用如图所示的方式测量一幢楼高：线段AB、EF、CD分别表示人、竹、竿、楼房的高度，且A、C、E在一条直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.5m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.6m，竹竿的高度为2.8m，求这幢楼的高度．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO′，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O′N＝11﹣7＝4（cm），
∴＝
∴AB＝3（cm），
故选：C．
2．解：∵一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm，
∴三角形的斜边长为：＝50（cm），
∵现要做一个与其相似的三角形木架，以60cm长的木条为其中一边，
∴当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为：30：60＝1：2，
故设要做的三角形最长边长为：50×2＝100（cm）．
故选：C．
3．解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：＝．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故选：B．
4．解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝9（m），
故选：C．
5．解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝12.5（米），
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD＝EN＝1.5（米），
∴MN＝ME+EN＝12.5+1.5＝14（米）．
故选：C．
6．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴，
解得：AB＝40，
故选：C．
7．解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
8．解：∵BN∥AM，
∴△BCN∽△ACM，
∴＝，
∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m，
∴＝，
∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
9．解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
10．解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴＝，
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，
∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，
∴＝，
解得：FH＝1.05里．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分）
11．解：设教学楼高度为xm，
列方程得：
解得x＝19.2，
故教学楼的高度为19.2m．
故答案为：19.2m．
12．解：∵＝＝，
∵CE＝2，
∴CD＝4，
∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．
∴AB＝BD＝×20＝10米．
故应填10．
13．解：∵AD＝100，AE＝200，AB＝40，AC＝20，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
而∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△EAD，
∴＝，
∴DE＝5BC＝5×30＝150．
故答案为150．
14．解：∵∠ACB＝90°、CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝90°，
则∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AB＝57.6（m），
故答案为：57.6．
15．解：设BC＝x尺．
∵四边形BCDE是矩形，
∴BF∥CD，
∴△AFB∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝57.5，
经检验：x＝57.5是分式方程的解．
∴BC＝57.5（尺）．
故答案为：57.5．
16．解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
∴△ACO∽△BDO．
∴．
即．
∴BD＝5.4（米）．
故答案为：5.4．
17．解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，
∴AB＝＝＝100（米）．
故答案为：100．
三．解答题（共8小题，满分52分）
18．解：∵BD∥AE，
∴△CBD∽△CAE，
∴＝，即＝，
∴CB＝4（m）．
答：窗口底边离地面的高度BC是4m．
19．解：根据题意，易得△DCB∽△ACE，
∴CD：CE＝BC：CA，
又因为AB＝1.2米，CE＝3.6米，BC＝1.5米，
所以（3.6﹣ED）：3.6＝1.5：（1.2+1.5）．
解得ED＝1.6米．
20．解：∵AB∥CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，
∴△MDH∽△ADB，
∴＝＝，
∴＝，
解得MH＝6．
答：点M离地面的高度MH为6m．
21．解：延长DC交AB于G，延长HC交AE于M，如图，
∵BC∥DH，
∴△BCG∽△HDC，
∴＝，
而＝，
∴＝，解得BG＝1.8，
∴CG＝＝3，
∵身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为2米，
∴＝，解得CM＝2.56，
∵CM∥AG，
∴△ECM∽△EGA，
∴＝，即＝，解得AG＝4.96，
∴AB＝4.96+1.8＝6.76（m）．
答：树AB的高度为6.76m．
22．解：∵同一时刻物高与影长成正比，
∴EF：FG＝OB：BC，即2.4：1.8＝OB：36，
解得OB＝48．
过O作OP垂直于DP，P为垂足．由题意得，P在圆O上，延长BA交DP延长线于Q．
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴EF：FG＝BQ：BD，即2.4：1.8＝BQ：86，
解得BQ＝，
∴OQ＝BQ﹣OB＝﹣48＝．
在△QOP与△EGF中，
∠Q＝∠GEF，∠OPQ＝∠GFE，
∴△QOP∽△EGF，
∴OP：GF＝OQ：EG，即OP：1.8＝：3，
解得OP＝40，
∴AB＝OB+OA＝48+40＝88．
即摩天轮的半径为40m，最高点A的高为88m．
23．解：（1）∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，
∴，
∴y＝150﹣x
∴S＝xy＝﹣x2+150x；
150﹣x＞0，
解得：x＜200，
则0＜x＜200；
（2）设矩形的面积为S，
则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．
故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．
24．解：如图由图可知，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，
∴AG＝AF+FG＝15米
即，
∴DE＝50，
50÷2＝25，25+1＝26，
答：DE处共有26棵树．
25．解：过A点作AN⊥CD，交EF于点M，
由题意得：AB＝1.6m，EF＝2.8m，BF＝1.5m，BD＝20m，EM＝EF﹣AB＝1.2m，AM＝BF＝1.5m，AN＝BD＝20m，
∵△AEM∽△ACN，
∴，
∴CN＝＝＝16m．
∴CD＝CN+ND＝CN+AB＝16+1.6＝17.6m．
答：这幢楼的高度时17.6m．