25.4相似三角形的判定 同步达标测评 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》同步达标测评（附答案）
选择题（共17小题，满分51分）
1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）
A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
2．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠D＝∠B B．＝ C．＝ D．∠E＝∠C
3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A．B．C．D．
4．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
7．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（　　）
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
8．如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．＝ D．＝
9．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
10．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
11．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
13．矩形ABCD中，AD＝5，DC＝12，在AB上找一点E，使点E与点C、点D的连线将此矩形分成三个相似三角形．这样的点存在吗？（　　）
A．有一个点 B．有两个点 C．不存在 D．无法确定
14．与图中的三角形相似的是（　　）
A．B．C．D．
15．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
16．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A． B．∠B＝∠ADE C． D．∠C＝∠AED
17．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（　　）处．
P1 B．P2 C．P3 D．P4
填空题（共6小题，满分24分）
18．如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC上一点，要使△ABP与△ECP相似，还需具备的一个条件是　 　．
19．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　 　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
20．如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件　 　，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．
21．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝　 　．
22．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　 　对相似三角形．
23．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为　 　．（结果用含a的代数式表示）
解答题（共6小题，满分45分）
24．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
25．如图，△PQR是等边三角形，∠APB＝120°，以每两个三角形为一组写出图中所有的相似三角形，并选择其中的一组加以证明．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？
（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
27．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
28．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
29．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
参考答案
一、选择题（共17小题，满分51分）
1．解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，
故不一定与△BCD相似的是△BAE．
故选：D．
2．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC．
A和D符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
B、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似．
故选：B．
3．解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
4．解：当＝时，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故选：C．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
则△EDC∽△CBF，
故图中相似的三角形有3对．
故选：B．
6．解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
7．解：∵∠BAD＝∠C，
∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA＝∠BEC，
∴∠BFD＝∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．
故选：A．
8．解：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴当∠B＝∠D或∠C＝∠E时，可利用两角对应相等的两个三角形相似证得△ABC∽ADE，故A、B选项可判断两三角形相似；
当＝时，可得＝，结合∠BAC＝∠DAE，则可证得△ABC∽△AED，而不能得出△ABC∽△ADE，故C不能判断△ABC∽ADE；
当＝时，结合∠BAC＝∠DAE，可证得△ABC∽△ADE，故D能判断△ABC∽△ADE；
故选：C．
9．解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：D．
10．解：①、当∠ACP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；
②、当∠APC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；
③、当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∵∠A＝∠A
∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；
④、∵当AB CP＝AP CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；
故选：D．
11．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
12．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC．
∴图中相似三角形的对数是：3对．
故选：C．
13．解：假设这样的点E存在，设AE＝x，
由三个三角形相似知：，
即，
∴x2﹣12x+25＝0，
解得：x＝6±，
即当AE＝6+或AE＝6﹣时，三个三角形相似，
∴这样的点E有两个．
故选：B．
14．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，，
A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故选项A错误；
B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故选项B正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项C错误；
D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项D错误．
故选：B．
15．解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
16．解：由图得：∠A＝∠A
∴当∠B＝∠ADE或∠C＝∠AED或AE：AC＝AD：AB时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD＝AC：AB．
C选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选：C．
17．解：若设每个小正方形的边长为1，
则AC：AB：BC＝：1：，
要使PD：PB：BD＝：1：，点P只能在P3处，
故选：C．
二、填空题（共6小题，满分24分）
18．解：∵△ABP与△ECP都是直角三角形，
∴当AB：EC＝BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，
而E是CD的中点，
∴BP＝2CP，即P为BC的三等份点．
故答案为BP＝2CP．
19．解：有两种情形：
如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝（cm），
当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，
∴△ADE′∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE′＝1.5（cm），
故答案为或1.5．
20．解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴要使△ADE∽△ABC，则添加的一个条件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
21．解：如图1，若DP∥AB，
∴△CDP∽△CBA，
∴，
∴
∴DP＝1；
如图2，若DP∥AC，
∴△BDP∽△BCA，
∴，
∴
∴PD＝；
如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C，
∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴，
∴PD＝，
故答案为：1或或．
22．解：∵∠A＝∠A，∠1＝∠2，
∴∠ADE∽△ABC，
∵∠A＝∠A，
∠1＝∠3，
∴△ADE∽△ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴DE∥CB，
∴∠DCB＝∠CDE，
∵∠2＝∠3，
∴△BDC∽△CED，
故答案为4
23．解：①当∠DPC＝90°时，如图，过点P作PT⊥CD于T．
∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，
∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，
∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，
∴△PDA≌△PDT（AAS），△PCB≌△PCT（AAS），
∴PA＝PT，PB＝PT，
∴PA＝PB＝AB＝a，
②当∠PDC＝90°时，∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，
∴∠APD＝∠DPC＝∠CPB＝60°，
设AP＝x，则PD＝2x．PC＝4x，PB＝2x，
∴3x＝a，
∴x＝a．
∴PA＝a
故答案为a或a．
三、解答题（共6小题，满分45分）
24．解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴，，
∴，
在△ABC和△A'B'C'中
∵，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
25．解：△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．
证明：∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR＝∠QPR＝∠PRQ＝60°，
∴∠A+∠APQ＝∠B+∠BPR＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠APQ+∠BPR＝60°，
∴∠A＝∠BPR，∠B＝∠APQ，
∴△APQ∽△PBR，
∵∠A是公共角，∠B＝∠APQ，
∴△APQ∽△ABP，
∴△APQ∽△PBR∽△ABP．
26．解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t．
∴S△PBQ＝PB BQ
＝ （6﹣t） 2t
＝﹣t2+6t，
由题意得﹣t2+6t＝9，
解得t1＝t2＝3，
所以运动时间t为3s；
（2）若当△PBQ∽△ABC时，＝．
即＝，
解得t＝；
当△PBQ∽△CBA时，＝．
即＝，
解得t＝．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或．
27．解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．
28．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
29．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）连接DE，
∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE＝AC：AB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．