25.5相似三角形的性质同步达标测评 2021-2022学年冀教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年冀教版九年级数学上册《25.5相似三角形的性质》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
，
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
4．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
8．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
9．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点F在AC上，且AC＝4AF，连接BF并延长交AD于E，则EF的长度是（　　）
A． B． C．2 D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG OC．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
13．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
14．如图所示，已知：点A（0，0），，C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分20分）
15．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为　 　．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝　 　．
17．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，
∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于　 　．
19．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③＝；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是　 　．
三．解答题（共5小题，满分58分）
20．如图，在△ABP中，C，D分别是AP，BP上的点．若CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1．
（1）求证：△ABP∽△DCP；
（2）求AB的长．
21．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
22．已知：如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．
求证：∠BDA＝∠BAC．
23．在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△AEF∽△ACG．
（2）求证：∠ADE＝∠B．
（3）若AD＝3，AB＝5，求．
24．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴S△DOE：S△AOC＝＝，
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：A．
4．解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，D为AB中点，
∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
解得：DE＝8，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF；故①正确；
∵AB∥CD，
∴＝，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AN＝AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，
由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，
∴CH＝MH＝CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，
（补充方法：延长MF交CG的延长线于T，证明CG＝GT，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴＝＝，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，
故选：C．
6．解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC＝90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵，
∴△DAE≌△HAE（AAS），
∴AD＝AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG＝CH，
设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，
∵AC＝＝＝10，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得：x＝2，
∴BD＝DE＝2，AD＝4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：DF＝，
则EF＝DF﹣DE＝﹣2＝，
故选：C．
7．解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，
∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH PC，故④正确；
故选：C．
8．解：∵在 ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝4，＝（）2＝，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
9．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
10．解：在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AD∥BC，
∴AC＝2，
∵AC＝4AF，
∴AF＝，CF＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴AE＝，
∴BE＝，
∴EF＝BE＝．
故选：A．
11．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝，
故选：B．
12．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，
∵∠MON＝90°，
∴∠COM＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵∠MON＝90°，
∴∠OEG＝45°＝∠FCG，
∵∠OGE＝∠FGC，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，
∴S△COE＝S△DOF，
∴，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴OE＝OF，
又∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°＝∠OCE，
∵∠EOG＝∠COE，
∴△OEG∽△OCE，
∴OE：OC＝OG：OE，
∴OG OC＝OE2，
∵OC＝AC，OE＝EF，
∴OG AC＝EF2，
∵CE＝DF，BC＝CD，
∴BE＝CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
∴BE2+DF2＝EF2，
∴OG AC＝BE2+DF2，
故④错误，
故选：B．
13．解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MN＝a，
∴FM＝a，
∵AE∥FM，
∴＝＝＝，
故选：C．
14．解：如图，过A1作A1D⊥BO于点D．
设AD＝DB1＝x
则由△BA1D∽△BCO得：
＝
解得x＝
所以A2B1B2的边长为．
同理解得边长依次为，…
所以第n个等边三角形的边长等于．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分20分）
15．解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴＝，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴＝，
解得：x＝，
则EH＝．
故答案为：．
16．解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝，HE＝AH，
∴AE＝AH sin60°＝AH，
∴CH＝AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴＝＝＝2，
∴DH＝HF＝×＝．
故答案为．
17．解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，
∵BD＝1，AD＝5，
∴AB＝BD+AD＝6，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，
在Rt△BCA与Rt△DCE中，
∵∠BAC＝∠DEC＝30°，
∴tan∠BAC＝tan∠DEC，
∴，
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CAE＝∠B＝60°，，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，
∴AE＝，
在Rt△ADE中，
DE＝＝＝2，
在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，
在Rt△DCM中，
MC＝DC＝，
在Rt△AEN中，
NE＝AE＝，
∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90°，
∴△MFC∽△NFE，
∴＝＝＝，
方法二：求出AE后，证明△DFC∽△AFE，利用相似三角形的性质求解即可．
故答案为：．
18．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25，△ABC的面积＝AB AC＝×15×20＝150，
∵AD＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠BAC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
解得：CE＝12，
∴BE＝BC﹣CE＝13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积＝BE：BC＝13：25，
∴△ABE的面积＝×150＝78；
故答案为：78．
19．解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴BF＝CG，
∵在△ABF和△BCG中，，
∴△ABF≌△BCG，
∴∠BAF＝∠CBG，
∵∠BAF+∠BFA＝90°，
∴∠CBG+∠BFA＝90°，即AF⊥BG；①正确；
②∵在△BNF和△BCG中，，
∴△BNF∽△BCG，∴＝＝，
∴BN＝NF；②错误；
③作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，
AF＝＝，
∵S△ABF＝AF BN＝AB BF，
∴BN＝，NF＝BN＝，
∴AN＝AF﹣NF＝，
∵E是BF中点，
∴EH是△BFN的中位线，
∴EH＝，NH＝，BN∥EH，
∴AH＝，＝，解得：MN＝，
∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，
∴＝；③正确；
④连接AG，FG，根据③中结论，
则NG＝BG﹣BN＝，
∵S四边形CGNF＝S△CFG+S△GNF＝CG CF+NF NG＝1+＝，
S四边形ANGD＝S△ANG+S△ADG＝AN GN+AD DG＝+＝，
∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；
故答案为 ①③．
三．解答题（共5小题，满分58分）
20．解：（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1，
∴AP＝AC+CP＝3.5+4＝7.5，BP＝BD+DP＝1+5＝6，
∴＝，＝＝，
∴，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
（2）∵△ABP∽△DCP，
∴，
即：＝，
∴AB＝6．
21．解：（1）证明：如图，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝2，
由（1）得△ABE∽△ECD，
∴，即，
解得CD＝．
22．证明：在△ABC中，AB＝4，BC＝8，BD＝2．
∴，，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BDA＝∠BAC．
23．证明：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE于，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°．
∵∠EAF＝∠GAC
∴△AEF∽△ACG．
（2）由（1）知△AEF∽△ACG，
∴∠AEF＝∠C
∵∠DAE＝∠BAC（公共角），
∴△EAD∽△CAB．
∴∠ADE＝∠B．
解：（3）由（2）知：△ADE∽△ABC，
∴．
由（1）知△AEF∽△ACG，
∴．
∴．
∵AD＝3，AB＝5，
∴．
24．解：（1）若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2t．
则＝＝，
又∵AO＝10，AB＝20，
∴＝＝．
∴＝．
又∵∠CAB＝30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC．
当5＜t＜10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，
∵∠PAM＝30°，AP＝4t，
∴AM＝．
在△APQ中，∠AQP＝90°，
∴AQ＝2t，
∴QM＝AC﹣2AQ＝20﹣4t．
由AQ+QM＝AM得：2t+20﹣4t＝，
解得t＝．
∴当t＝时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°．
∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣＝2×，解得t＝2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP＝30°．
∴MH＝2PH，同理可得t＝．
故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．