课时24.1.4 圆周角
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
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推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
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典例1．（2020·江苏南昌市九年级期中）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
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A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
变式1-1．（2020·江西九年级期末）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．25° B．27.5° C．30° D．35°
变式1-2．（2020·北京市九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．40° B．50° C．80° D．100°
变式1-3．（2020·合肥市九年级期末）如图，⊙O是 ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）【出处：21教育名师】
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A．30° B．25° C．15° D．10°
变式1-4．（2020·江苏九年级期末）如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
典例2．（2020·天津南开区·九年级期末）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．21*cnjy*com
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A．60° B．50° C．40° D．20°
变式2-1．（2020·天津河西区·九年级期中）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）21·世纪*教育网
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A．30° B．35° C．40° D．50°
变式2-2．（2020·菏泽市九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．65°
变式2-3．（2020·山东九年级期末）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是 【来源：21·世纪·教育·网】
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A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
变式2-4．（2020·靖江市九年级期中）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）21世纪教育网版权所有
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A．10° B．14° C．16° D．26°
典例3．（2020·广东九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）21*cnjy*com
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A．4 B．8 C．2 D．4
变式3-1．（2020·黑龙江九年级期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）21教育网
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A．116° B．32° C．58° D．64°
变式3-2．（2020·常州市九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
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A．55° B．45° C．35° D．25°
变式3-3．（2020·浙江九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于( )21cnjy.com
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A．33° B．57° C．67° D．66°
变式3-4．（2020·福建厦门外国语学校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
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A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
1．（2020·杭州市九年级月考）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．80° B．120° C．100° D．90°
2．（2020·河北石家庄市·九年级期末）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ）
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A．20° B．30° C．40° D．70°
3．（2020·内蒙古九年级期末）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
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A．70° B．55° C．45° D．35°
4．（2020·江西九年级期末）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．70° B．45° C．35° D．30°
5．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
6．（2020·黑龙江九年级其他模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
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A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2020·新疆九年级期末）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）
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A．30° B．45° C．55° D．60°
8．（2020·沭阳县九年级期中）如图，在⊙中，半径垂直弦于，点在⊙上，，则半径等于（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
9．（2020·湖北十堰市九年级期末）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（ ）
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10．（2020·广州市白云区九年级期中）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=20°，∠B=70°，
则∠ACB的度数为（ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
11．（2020·绍兴市九年级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
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12．（2020·成都市九年级月考）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．
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13．（2020·河北九年级期中）如图，在中，点在上，则_______________________
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14．（2020·白云区九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是_____．
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15．（2020·哈尔滨市九年级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°．
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16．（2020·浙江九年级月考）
如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
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（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
17．（2019·江西九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
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教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）课时24.1.4 圆周角
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
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推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。21教育网
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
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典例1．（2020·江苏南昌市九年级期中）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
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A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【提示】
根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
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【名师点拨】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
变式1-1．（2020·江西九年级期末）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【答案】D
【详解】
提示：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选D．
名师点拨：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．
变式1-2．（2020·北京市九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
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A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】B
【详解】
试题提示：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．
故选B．
变式1-3．（2020·合肥市九年级期末）如图，⊙O是 ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）
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A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【提示】
连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
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【名师点拨】
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
变式1-4．（2020·江苏九年级期末）如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【详解】
连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．
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【名师点拨】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
典例2．（2020·天津南开区·九年级期末）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．21·cn·jy·com
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A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】B
【提示】
根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】
解：连接，
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∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【名师点拨】
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
变式2-1．（2020·天津河西区·九年级期中）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）【出处：21教育名师】
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A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】
提示：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
解答：解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD-∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
故选C．
变式2-2．（2020·菏泽市九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【详解】
提示：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
名师点拨：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
变式2-3．（2020·山东九年级期末）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是 21教育名师原创作品
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A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
【答案】B
【提示】
先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C=∠BOD．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
变式2-4．（2020·靖江市九年级期中）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
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A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【提示】
连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】
解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
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【名师点拨】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
典例3．（2020·广东九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）21*cnjy*com
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A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】A
【提示】
由已知可得三角形ABC是直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AB的长即可求得答案.
【详解】
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，
∴OA=OB=4，
故选A．
【名师点拨】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式3-1．（2020·黑龙江九年级期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．116° B．32° C．58° D．64°
【答案】B
【详解】
试题提示：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．www-2-1-cnjy-com
故选B．
变式3-2．（2020·常州市九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）
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A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【提示】
证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
【详解】
∵AB是的直径，
故选C.
【名师点拨】
本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
变式3-3．（2020·浙江九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于( )21cnjy.com
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A．33° B．57° C．67° D．66°
【答案】B
【详解】
如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故选B.
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变式3-4．（2020·福建厦门外国语学校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
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A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【答案】D
【提示】
由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案.www.21-cn-jy.com
【详解】
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD＝90°，
故选：D.
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【名师点拨】
此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确掌握圆周角定理是解题的关键.21·世纪*教育网
1．（2020·杭州市九年级月考）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（ ）【版权所有：21教育】
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A．80° B．120° C．100° D．90°
【答案】B
【提示】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理进行解答即可．
【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选B．
【名师点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2．（2020·河北石家庄市·九年级期末）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ）21*cnjy*com
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A．20° B．30° C．40° D．70°
【答案】A
【提示】
根据邻补角的性质，求出∠BOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数即可．
【详解】
∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，
∵∠BOC 与∠BDC 都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选A．
【名师点拨】
本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
3．（2020·内蒙古九年级期末）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
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A．70° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【提示】
根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数
【详解】
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连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝55°．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（2020·江西九年级期末）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
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A．70° B．45° C．35° D．30°
【答案】C
【提示】
先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选C．
【名师点拨】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理可得到的度数．
【详解】
，
，
，
．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2020·黑龙江九年级其他模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
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A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】D
【详解】
试题提示：如图，
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连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
考点：1、平行线的性质；2、圆周角定理；3等腰三角形的性质
7．（2020·新疆九年级期末）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）
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A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【提示】
根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠ACB=100°，
∵∠AOP=55°，
∴∠POB=45°，
故选B．
【名师点拨】
本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．
8．（2020·沭阳县九年级期中）如图，在⊙中，半径垂直弦于，点在⊙上，，则半径等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】
半径弦于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
则半径．
故选B．
【名师点拨】
此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，正确得出是等腰直角三角形是解题关键．
9．（2020·湖北十堰市九年级期末）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．60° B．45° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】
试题提示：直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．
故选D．
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10．（2020·广州市白云区九年级期中）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=20°，∠B=70°，
则∠ACB的度数为（ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【详解】
连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=20°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B=70°，∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=70°-20°=50°，故选A.
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11．（2020·绍兴市九年级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
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【答案】40
【提示】
若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．
【详解】
连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为40．
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【名师点拨】
本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.
12．（2020·成都市九年级月考）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．
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【答案】1
【提示】
利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为1．
【名师点拨】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
13．（2020·河北九年级期中）如图，在中，点在上，则_______________________
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【答案】
【提示】
画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数．
【详解】
如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，
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∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【名师点拨】
本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
14．（2020·白云区九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是_____．
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【答案】6
【提示】
作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．
【详解】
解：作直径CD，如图，连接BD，
∵CD为⊙O直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴BD＝BC＝×6＝6，
∴CD＝2BD＝12，
∴OC＝6，
即⊙O的半径是6．
故答案为6．
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【名师点拨】
本题主要考查圆周角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握圆周角的性质.
15．（2020·哈尔滨市九年级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°．
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【答案】35
【提示】
如图（见解析），连接AD，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得．
【详解】
如图，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴，即
又由圆周角定理得：
∵
∴
故答案为：35．
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【名师点拨】
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题关键．
16．（2020·浙江九年级月考）
如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
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（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
【答案】（1）见解析
（2）5 ，
【提示】
（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点,
∴
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF；
（2）解：∵
∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，
∴⊙O的半径为5，
【名师点拨】
此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键．
17．（2019·江西九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
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【答案】（1）35°；（2）2﹣．
【详解】
试题提示：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得.
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
试题解析：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.
∵∠B=70°，∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°.
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°.
（2）在Rt△ABC中，BC=．
∵OE⊥AC，∴AE=EC.
又∵OA=OB，∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．
考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.三角形内角和定理；4.平行线的性质；5.勾股定理；6.垂径定理；7.三角形中位线定理.
教材知识链接
典例及变式
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