2020-2021学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列方程属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（2分）下列二次根式是最简二次根式的是　　
A． B．
C． D．
3．（2分）如图，是中的平分线，交于点，交于点，若，，，则的长为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2分）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是　　
①互为邻补角的两个角的平分线；
②互为对顶角的两个角的平分线；
③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；
④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2分）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为米，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
6．（2分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，若，则的长是　　
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）要使代数式有意义，的取值范围是 　　．
8．（2分）计算：　　．
9．（2分）方程的根是　 　．
10．（2分）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是 　　．
11．（2分）在实数范围内因式分解：　　．
12．（2分）关于的不等式：的解集为 　　．
13．（2分）如图，在中，，于点，是边上的中线，若，，则　　．
14．（2分）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是　 　．
15．（2分）经过线段两个端点的圆的圆心的轨迹是　 　．
16．（2分）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是　　．
17．（2分）如图，中，，，，于点，垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为　　．
18．（2分）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若是优三角形，且，．则这个三角形的面积是 　　．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，共24分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）用配方法解方程：．
22．（6分）尺规作图：已知及边上有一点．
求作：点，使，且到、的距离相等．（不要求写作法，保留作图痕迹）
四、解答题：（本大聪共4题，第23题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共40分）
23．（8分）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，为助力脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包．若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
24．（10分）已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，交于点，为边的中点，联结、、．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求证：．
25．（10分）已知等腰直角中，，，点是边上一点，以为边作等腰直角，其中，，边与交于点，点是上一点．若，联结．
（1）若，，求点到的距离；
（2）求证：．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点，点、分别在轴和轴的正半轴上，，．
（1）点的坐标为 　　．
（2）点为延长线上一点，过作轴交的延长线于点．若点的横坐标为，线段的长为，请用含的式子表示；
（3）在（2）的条件下，点是线段上一点，联结、，若，，求证：．
2020-2021学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列方程属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
、方程中含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
、是一元二次方程，故此选项符合题意；
、当时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：．
2．（2分）下列二次根式是最简二次根式的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、原式，故不符合题意．
、原式，故符合题意．
、原式，故不符合题意．
、原式，故不符合题意．
故选：．
3．（2分）如图，是中的平分线，交于点，交于点，若，，，则的长为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
故选：．
4．（2分）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是　　
①互为邻补角的两个角的平分线；
②互为对顶角的两个角的平分线；
③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；
④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故①正确；
②互为对顶角的两个角的平分线在同一直线上，故②不正确；
③若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故③正确；
④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行，故④不正确．
一定能得到结论为“互相垂直”的个数有2个．
故选：．
5．（2分）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为米，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为，
依题意得，
故选：．
6．（2分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，若，则的长是　　
A． B． C． D．
【解答】解：过点作于点，
在中，，，，
，
．
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）要使代数式有意义，的取值范围是 　且　．
【解答】解：由题意可知：，
解得：且，
故答案为：且．
8．（2分）计算：　　．
【解答】解：原式
．
故答案为．
9．（2分）方程的根是　，　．
【解答】解：原方程可化为，
，
或，
解得：，．
10．（2分）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是 　　．
【解答】解：根据题意得且△，
解得．
故答案为．
11．（2分）在实数范围内因式分解：　　．
【解答】解：当时，
，，，
解得：，，
故．
故答案为：．
12．（2分）关于的不等式：的解集为 　　．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
13．（2分）如图，在中，，于点，是边上的中线，若，，则　20　．
【解答】解：在中，，是边上的中线，，
，
，，
，
故答案为：20．
14．（2分）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是　两边上的中线相等的三角形是等腰三角形　．
【解答】解：“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是两边上的中线相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两边上的中线相等的三角形是等腰三角形．
15．（2分）经过线段两个端点的圆的圆心的轨迹是　线段的垂直平分线　．
【解答】解：圆上的所有点到圆心的距离相等，
无论圆心在哪里，总有，
即：所有圆心到、两点的距离相等，
到、两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
故答案为：线段的垂直平分线．
16．（2分）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是　或　．
【解答】解：①过作时，
，，
，
当时，是钝角三角形；
②过作时，
，，
，
当时，是钝角三角形，
故答案为：或．
17．（2分）如图，中，，，，于点，垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为　6　．
【解答】解：，，，于点，
，
垂直平分，
点到，两点的距离相等，
的长度的最小值，
即的最小值为6，
故答案为：6．
18．（2分）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若是优三角形，且，．则这个三角形的面积是 　或　．
【解答】解：作交的延长线于．
若，则，设，
在中，，，
，，
，
在中，则有，
解得，
，
，
若，则，设，则，，，
在中，则有，
解得或（舍去），
，
故答案为：或．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，共24分）
19．（6分）计算：．
【解答】解：原式
．
20．（6分）解方程：．
【解答】解：方程去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
这里，，，
△，
，
解得：，．
21．（6分）用配方法解方程：．
【解答】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
22．（6分）尺规作图：已知及边上有一点．
求作：点，使，且到、的距离相等．（不要求写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，点为所作．
四、解答题：（本大聪共4题，第23题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共40分）
23．（8分）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，为助力脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包．若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
【解答】解：设农产品礼包每包降价元，则每包的销售利润为元，4月份的销售量为袋，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
24．（10分）已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，交于点，为边的中点，联结、、．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求证：．
【解答】证明：（1）为边的中点，，
，
同理，
，
为等腰三角形；
（2）是的中点，，
是的中垂线，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
25．（10分）已知等腰直角中，，，点是边上一点，以为边作等腰直角，其中，，边与交于点，点是上一点．若，联结．
（1）若，，求点到的距离；
（2）求证：．
【解答】解：（1）如图1，过作于点，
设，由题意得，，，
，
在与中，
，，
，
，
解得，
答：点到的距离是；
（2）证明：如图2，在上截取，连接，
，，
，，
在与中，
，
，
，，
，
又，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点，点、分别在轴和轴的正半轴上，，．
（1）点的坐标为 　　．
（2）点为延长线上一点，过作轴交的延长线于点．若点的横坐标为，线段的长为，请用含的式子表示；
（3）在（2）的条件下，点是线段上一点，联结、，若，，求证：．
【解答】解：（1），
，
在中，，
，
在中，，
，
，
；
故答案为：；
（2）设交轴于，如图：
作轴，
，
点的横坐标为，
，
在中，，
在中，，
；
（3）过作轴，交于，如图：
，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
，
中，，
，
，
，
而，
．