第2章 一元二次方程单元复习小结（共25张PPT）

(共25张PPT)
单元复习
第二章
一元二次方程
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
本
章
知
识
架
构
知
识
专
题
要点梳理
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a___0).其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
1.概念：
只含有___未知数，并且未知数的最高次数为___的_____方程.
一、一元二方程的概念
2.一般形式：
1
≠
2
整式
解法 方程类型 注意事项
1.直接开平方法 (1)当方程缺少一次项，即方程ax2+c=0(a≠0，ac<0) (2)形如a(x+n)2=b(a≠0，ab>0)的方程 开方后取值符号是“±”
2.配方法 将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，考虑使用配方法：给方程两边同时加上_____________________ (1)在配方过程中，一定要在等号两边同时加上一个_____的数；
(2)将方程的二次项系数化为1后，一次项的正负决定配方后括号里面是加或减
二、一元二次方程的解法
一次项系数一半的平方
相同
要点梳理
解法 方程类型 注意事项
3.公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为x=____________ (1)使用求根公式时，要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为________；
(2)将a,b,c代入求根公式时应注意其符号；
(3)若b2-4ac<0，则原方程___________
4.因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因数，形如x(ax+b)=0或(ax+b)(cx+d)=0 (1)等号右边必须化为0，若不为0，不能用此法；
(2)方程两边含有x的相同因式时，不能约去，以免丢根，如对于一元二次方程(x-2)(x+2)=(x-2)，不能两边同时约去x-2，会造成漏解
0
无解
要点梳理
1.b2-4ac>0 一元二次方程有两个________的实数根
2._________ 一元二次方程有两个相等的实数根
3._________ 一元二次方程没有实数根
三、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为：b2-4ac.
2.与根的关系
不相等
b2-4ac=0
b2-4ac<0
要点梳理
三、一元二次方程根的判别式
若所给方程的二次项系数含有字母，求字母的取值范围时，应记住一元二次方程二次项系数不为0这一条件.若未指明方程类型，需分情况(二次项系数为0和二次项系数不为0)讨论
3.注意事项
要点梳理
四、一元二次方程的实际应用
①.
②.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，增长次数为2，则有___________
③.若起始量为a，平均增长率为x，终止量为b，下降次数为2，则有___________
1.平均变化率问题
a(1+x)2=b
a(1-x)2=b
要点梳理
四、一元二次方程的实际应用
①利润=售价-成本.
2.利润问题
②总利润=总售价-总成本.
③总利润=单个利润×总数量.
利润率=
④
要点梳理
四、一元二次方程的实际应用
3.几何问题
①解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式;
②不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线;
③重视数形结合的思想方法
要点梳理
考点专练
考点一　用配方法解方程
例1:用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
解析： 用配方法解一元二次方程，关键的一步是将二次项系数已化为1的方程的两边加上一次项系数一半的平方，转化为(x＋m)2＝n的形式，当n≥0时，直接开平方求得方程的根．
考点专练
解：方程两边同时除以3,得
x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方, 得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4 .
例1:用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
考点二　用公式法解方程
例2:用公式法解方程：x2-4x-1=0.
解析： 用公式法解方程时应先把一元二次方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．
考点专练
根据公式法，我们可以利用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况：当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．反之，知道一元二次方程根的情况，也可以判断b2－4ac的符号．
方法技巧
考点三　用因式分解法解方程
例3:用因式分解法解方程：(x －3)2 ＋ 3－x ＝0.
解析: (1)经过变形后可用提取公因式法分解因式，(2)可直接将方程左边分解因式．
解：(1)原方程变形为 (x－3)2－(x－3)＝0，
(x－3)(x－3－1)＝0，
即 (x－3)(x－4)＝0，
x－3＝0 或x－4＝0，
∴x1＝3，x2＝4.
考点专练
考点专练
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以利用因式分解法解一元二次方程．用式子表示：若a·b＝0，则a＝0或b＝0，反之也成立．有时遇到解高次方程时，也可以利用这种方式降次．如x4-16＝0，则(x2+4)(x+2)(x-2)＝0，其左边是三个因式，其中有一个二次的因式，其余两个是一次的因式．分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想．
方法技巧
考点五　一元二次方程根与系数的关系
例4 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ．
25
解析: 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
考点专练
考点六　利用一元二次方程解决实际问题
例5:某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
解析：增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握增长率是指增长数与基准数的比．
考点专练
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．
所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．
由此规律，经过3轮后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729台电脑被感染．
由于729>700，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
考点专练
列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等．
方法技巧
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