中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
考点11 幂函数
一、单选题
1．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【解析】设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，解得.
所以，则，故选D.
2．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
【答案】B
【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，
由，得或，
当时，，所以舍去，
当时，，
所以，故选B.
3．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【答案】D
【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选D.
4．如图是幂函数的部分图象，已知取，2，，这四个值，则于曲线，，，相应的依次为（ ）
A．2，，， B．，，，2
C．，2，， D．2，，，
【答案】A
【解析】因为在直线右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，
所以曲线，，，相应的依次为2，，，.故选A.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为幂函数在上单调递增，故，
又因为，所以.故选A.
6．已知幂函数的图象不经过原点，则m的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，，函数的图象不经过原点，当时，，函数的图象经过原点.
所以的取值集合是.故选B
7．给定四个命题：①当时，是减函数；②幂函数的图象都过，两点；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数在第一象限为减函数，则，其中正确的命题为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】①当时，在和都递减，而在不单调，错误；
②幂函数的图象都过，但不一定过，错误；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确；
④幂函数在第一象限为减函数则，正确；
故选D.
8．对于幂函数，若，则，大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【解析】因为幂函数在上是增函数，且图象是上凸的，
所以当时，应有，
故选A.
二、多选题
9．下列幂函数中，其图象过点，，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】幂函数图象过点，，且为偶函数，由不过，排除A；
，满足题意，B正确；
，为奇函数，排除C；
，满足题意，D正确；
故选BD.
10．已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】AC
【解析】由图可知，定义域为R，且为奇函数，故B错误；
可知在上凸递增，则，故D错误.
故选AC.
11．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】时，的定义域是，不正确；
时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
时，函数的定义域是，不正确.
故选BC.
12．已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．上的增函数 D．上的减函数
【答案】AD
【解析】由函数为幂函数可知，，则，所以点为，
代入得，，所以，即.
故函数为奇函数，且在上递减.故选AD.
13．若点在幂函数的图象上，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】因为幂函数在第一象限一定有图象，在第二或第三象限可能有图象，也可能没有图象，
第四象限一定没有图象，所以选ABC.
故选ABC.
14．关于函数的描述错误的命题是（ ）
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为，，值域为，，故错误，正确；
函数在，上单调递增，则对，，且，都有，故错误；
当时，，不存在，，，故错误．
故选ACD.
15．下列说法中错误的有 （ ）
A．的图像是一条直线
B．幂函数的图像不过第四象限
C．若函数的定义域是，则它的值域是
D．若幂函数的图像过点，则它的递增区间是
【答案】AC
【解析】A项：因为函数的定义域为，所以图像不是一条直线，A错误；
B项：若，则不可能小于，B正确；
C项：当时，函数的值域为，C错误；
D项：设幂函数为，
因为幂函数的图像过点，所以，，，
故递增区间是，D正确，
故选AC.
三、填空题
16．已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．
【答案】
【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：
17．不等式的解集为______
【答案】
【解析】因为幂函数在上为增函数，，所以，解得，
所以不等式的解集为，故答案为：.
18．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
【答案】
【解析】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，可得，解得：，
所以的范围为，故答案为：．
19．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
【答案】
【解析】因幂函数在区间内是减函数，
则有，解得，而，于是得，
又的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，即幂指数为偶数，
而或时是奇数，时为偶数，
所以，的解析式为. 故答案为：
20．当时，（）的图像一直在直线上方，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】结合幂函数在第一象限的图像，
当时在上是增函数，且时图像在的上方，
时，，则，不满足题意．
又时（）也满足，故的取值范围是.故答案为：．
21．若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).
【答案】④
【解析】若满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；可知是奇函数；
若满足：（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，可知是减函数，所以即是奇函数又是减函数的函数就是“理想函数”.
对于①：是奇函数，在和单调递减，但在定义域内不是减函数，不符合理想函数的定义，故①不正确；
对于②是偶函数，在单调递减，在单调递增，不符合理想函数的定义，故②不正确；
对于③：是奇函数，因为和都是增函数，所以在上单调递增，不符合理想函数的定义，故③不正确；
对于④：作出分段函数的图象如图所示：由图知：图象关于原点对称是奇函数，且在上单调递减，符合理想函数的定义，故④正确；
故答案为：④.
四、解答题
22．已知幂函数(，)在区间上单调递减.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得
又，，则，此时，，即，
所以的解析式是；
（2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立，
令，由(当且仅当，即时等号成立)，即，
所以实数的取值范围是.
23．已知幂函数在上单调递减．
（1）求实数的值．
（2）若实数满足条件，求的取值范围．
【解析】（1）是幂函数，，解得：或，
时，在上单调递增，
时，在递减，
故；
（2）若实数满足条件，
则或或，
解得：或，
故的取值范围是．
24．已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数，使得最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）∵是幂函数，∴设，
∵点在幂函数的图像上，∴，
∴.
（2），，
①当即时，.
②当即时，；
③当即时，（舍去）
综上所述，存在.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
考点11 幂函数
一、单选题
1．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
3．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
4．如图是幂函数的部分图象，已知取，2，，这四个值，则于曲线，，，相应的依次为（ ）
A．2，，， B．，，，2
C．，2，， D．2，，，
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知幂函数的图象不经过原点，则m的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
7．给定四个命题：①当时，是减函数；②幂函数的图象都过，两点；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数在第一象限为减函数，则，其中正确的命题为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
8．对于幂函数，若，则，大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
二、多选题
9．下列幂函数中，其图象过点，，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B．
C． D．3
11．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
12．已知点在幂函数的图象上，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．上的增函数 D．上的减函数
13．若点在幂函数的图象上，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．关于函数的描述错误的命题是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，，
15．下列说法中错误的有 （ ）
A．的图像是一条直线
B．幂函数的图像不过第四象限
C．若函数的定义域是，则它的值域是
D．若幂函数的图像过点，则它的递增区间是
三、填空题
16．已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．
17．不等式的解集为______
18．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
19．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
20．当时，（）的图像一直在直线上方，则的取值范围是______.
21．若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).
四、解答题
22．已知幂函数(，)在区间上单调递减.
（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
23．已知幂函数在上单调递减．
（1）求实数的值．
（2）若实数满足条件，求的取值范围．
24．已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，，是否存在实数，使得最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
