2021-2022学年安徽省安庆市外国语学校第一学期阶段性教育教学九年级数学反馈试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年安徽省安庆市外国语学校第一学期阶段性教育教学九年级数学反馈试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 266.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-14 10:53:47 | ||
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文档简介
安庆市外国语学校2021-2022学年度第一学期
阶段性教育教学九年级数学反馈
（满分：100分，时间：100分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝
2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5）
3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝2x2（x＞0） C．y＝﹣x2（x＜0） D．y＝﹣x2（x＞0）
4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
5．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
6．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点 B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧 D．没有公共点
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式： ．
12．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ．
13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是 ．
14．已知抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线上存在一点P，使
△ABP的面积为10，则点P的坐标为 ．
三．解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标．
已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求抛物线的解析式．
四．解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
18．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式，
（2）请直接写出使y1≤y2时自变量x的取值范围．
五．解答题（本题满分10分）
19．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
六．解答题（本题满分12分）
20．我们知道，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 ．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6＝（x﹣1）2+5．
①二次函数M的函数表达式为 ．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，动点P在抛物线y6上，作PD⊥直线AB，请求出PD最小时P点的坐标．
安庆市外国语学校21-22学年度第一学期阶段性
教育教学九年级数学反馈
参考答案与试题解析
选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：A、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项错误；
B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，故本选项正确；
C、y＝（x+1）2﹣x2是一次函数，故本选项错误；
D、y＝的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝2x2（x＞0） C．y＝﹣x2（x＜0） D．y＝﹣x2（x＞0）
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：A．在y＝x+1中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在y＝2x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C．在y＝﹣x2，x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
D．在y＝﹣x2，x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次例函数和二次函数的性质解答．
4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
5．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【分析】因为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的两点（3，4）和（﹣5，4），纵坐标相等，所以，两点的连线平行于x轴，对称轴为两点连线段的垂直平分线，可知对称轴为两点横坐标的平均数．
【解答】解：∵抛物线上两点（3，4）和（﹣5，4），纵坐标相等，
∴对称轴为直线x＝＝﹣1．故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．
6．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
8．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点
B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧
D．没有公共点
【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断出顶点坐标，开口方向即可解决问题．
【解答】解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于﹣0.5＜0，
根据二次函数的图象对称性可得：x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
因此判断该二次函数的图象的开口向上，与x轴有两个交点，分别位于y轴的两侧，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据点的坐标确定函数的性质是关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a、b与0的大小关系即可作出判断．
【解答】解：二次函数的对称轴为：x＝﹣，
当a＞0，b＞0时，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
二次函数的图象开口向上，对称轴x＜0，
当a＞0，b＜0时，
一次函数的图象经过一、三、四象限，
二次函数的图象开口向上，对称轴x＞0，
当a＜0，b＞0时，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
二次函数的图象开口向下，对称轴x＞0，
当a＜0，b＜0时，
一次函数的图象经过二、三、四象限，
二次函数的图象开口向下，对称轴x＜0，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论，本题属于中等题型．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．
综上：③④正确，故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象性质，较为综合．需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想去解题．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式： y＝x2+1 ．
【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
【解答】解：抛物线的解析式为y＝x2+1，
故答案为：y＝x2+1
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ．
【分析】找到对称轴，根据距离对称轴的距离可判断y的大小．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x＝1，
∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键．
13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是 b≤2 ．
【分析】先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x＝b，且当x＞b时，y随x的增大而减小，由于已知当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则可得判断b≤2．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝＝b，
而a＝﹣1＜0，
∴当x＞b时，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴b≤1，
解得b≤2．
故答案为b≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x+）2+，顶点坐标是（﹣，），对称轴是直线x＝﹣，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小．
14．已知抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线上存在一点P，使
△ABP的面积为10，则点P的坐标为 （4，5）或（﹣2，5） ．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：由x2+2x﹣3＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
所以AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，P的纵坐标应±5，
把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2+2x﹣3＝5，
解得x1＝﹣4，x2＝2．
把y＝﹣5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2+2x﹣3＝-5，
方程无解．
故P点坐标为（﹣4，5）或（2，5）．
【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用．
三．解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标．
【分析】（1）把求得的解析式化为顶点式，从而求出其对称轴和顶点坐标；
（2）由解析式，令y＝0，得到方程，﹣3x2+6x+9＝0，然后根据十字相乘法求出方程的根，从而求出抛物线与坐标轴的交点坐标；
【解答】解：（1）∵y＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x﹣1）2+12
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，12）；
（2）∵x＝0，y＝9，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，9）
∵y＝0，
∴﹣3x2+6x+9＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（﹣1，0）．
【点评】（1）第一问考查函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键是将函数的解析式化为顶点式；
（2）第三问主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
16．已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求抛物线的解析式．
【分析】设出抛物线的二根式方程，将C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝﹣3a，即a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
【分析】此题可以逆推：将函数y＝2x2+4x+1的图象，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，进而可得a、b、c的值．
【解答】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象，
∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝2．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
18．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式，
（2）请直接写出使y1≤y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）因为点A（﹣1，0）、B（2，﹣3）都在一次函数和二次函数图象上，一次函数只有一个待定系数m，所以将A（﹣1，0）、B（2，﹣3）中任意一点的坐标代入y2＝﹣x+m即可；二次函数y1＝ax2+bx﹣3有两个待定系数a、b，所以需要A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点的坐标都代入y1＝ax2+bx﹣3，用二元一次方程组解出a、b的值．
（2）直接观察图象中同一个横坐标对应的y1、y2的值，直接得到答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y2＝﹣x+m得：0＝﹣（﹣1）+m，
∴m＝﹣1．
把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点代入y1＝ax2+bx﹣3得：，
解得：，
∴y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），抛物线开口向上，
∵A（﹣1，0），B（2，﹣3）
∴当y1≤y2时，x≤﹣1或x≥2．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法是解题的关键．
19．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，解出m即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为（7，），根据题意即﹣×72+7b+4＞3+，再解出b的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+7b+4＞3+，
解得：b＞．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
20．我们知道，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 （2，﹣1） ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 y＝﹣2（x﹣2）2+1 ．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6＝（x﹣1）2+5．
①二次函数M的函数表达式为 y＝﹣（x+1）2+1 ．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，动点P在抛物线y6上，作PD⊥直线AB，请求出PD最小时P点的坐标．
【分析】（1）二次函数y＝2（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1），则该点关于原点的对称点为（2，﹣1），此时抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，进而求解；
（2）①将y6＝（x﹣1）2+5向下平移6个单位得到y＝（x﹣1）2﹣1，此时该抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），该点关于原点的对称点为（﹣1，1），进而求解；
②求出直线AB的函数表达式为：y＝x+2，令x+2＝（x﹣1）2+5，即x2﹣3x+4＝0，此时方程无实数根，二次函数y6开口向上，则二次函数在一次函数上方，把y＝x+2向上平移n个单位得y＝x+2+n，当y＝x+2+n与y6有唯一交点时，点P与直线AB的距离最短，进而求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1），
则该点关于原点的对称点为（2，﹣1），
此时抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，
则这个抛物线的2阶变换的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1+2＝﹣2（x﹣2）2+1，
故答案为：（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2+1；
（2）①将y6＝（x﹣1）2+5向下平移6个单位得到y＝（x﹣1）2﹣1，
此时该抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
该点关于原点的对称点为（﹣1，1），
则抛物线M的表达式为y＝﹣（x+1）2+1，
故答案为：y＝﹣（x+1）2+1；
②存在，理由如下：
∵y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，
故点B（﹣2，0），
而点A（﹣1，1），
由点A、B的坐标得：直线AB的函数表达式为：y＝x+2，
令x+2＝（x﹣1）2+5，即x2﹣3x+4＝0，
此时方程无实数根，二次函数y6开口向上，
∴二次函数在一次函数上方，
∴把y＝x+2向上平移n个单位得y＝x+2+n，
当y＝x+2+n与y6有唯一交点时，点P与直线AB的距离最短，
令x+2+n＝（x﹣1）2+5，即x2﹣3x+4﹣n＝0，
∵两个函数有唯一交点，
∴b2﹣4ac＝0，即（﹣3）2﹣4（4﹣n）＝0，
解得n＝，
故x2﹣3x+4﹣n＝0变为x2﹣3x+＝0，
解得x＝，
当x＝时，y＝（x﹣1）2+5＝，
故点P的坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形得平移、根的判别式、新定义等，综合性强，难度适中．
阶段性教育教学九年级数学反馈
（满分：100分，时间：100分钟）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝
2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5）
3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝2x2（x＞0） C．y＝﹣x2（x＜0） D．y＝﹣x2（x＞0）
4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0） D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
5．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
6．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点 B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧 D．没有公共点
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式： ．
12．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ．
13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是 ．
14．已知抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线上存在一点P，使
△ABP的面积为10，则点P的坐标为 ．
三．解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标．
已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求抛物线的解析式．
四．解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
18．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式，
（2）请直接写出使y1≤y2时自变量x的取值范围．
五．解答题（本题满分10分）
19．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
六．解答题（本题满分12分）
20．我们知道，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 ．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6＝（x﹣1）2+5．
①二次函数M的函数表达式为 ．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，动点P在抛物线y6上，作PD⊥直线AB，请求出PD最小时P点的坐标．
安庆市外国语学校21-22学年度第一学期阶段性
教育教学九年级数学反馈
参考答案与试题解析
选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：A、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项错误；
B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，故本选项正确；
C、y＝（x+1）2﹣x2是一次函数，故本选项错误；
D、y＝的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝2x2（x＞0） C．y＝﹣x2（x＜0） D．y＝﹣x2（x＞0）
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：A．在y＝x+1中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在y＝2x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C．在y＝﹣x2，x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
D．在y＝﹣x2，x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次例函数和二次函数的性质解答．
4．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
5．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【分析】因为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的两点（3，4）和（﹣5，4），纵坐标相等，所以，两点的连线平行于x轴，对称轴为两点连线段的垂直平分线，可知对称轴为两点横坐标的平均数．
【解答】解：∵抛物线上两点（3，4）和（﹣5，4），纵坐标相等，
∴对称轴为直线x＝＝﹣1．故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．
6．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
7．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
8．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点
B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧
D．没有公共点
【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断出顶点坐标，开口方向即可解决问题．
【解答】解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于﹣0.5＜0，
根据二次函数的图象对称性可得：x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
因此判断该二次函数的图象的开口向上，与x轴有两个交点，分别位于y轴的两侧，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据点的坐标确定函数的性质是关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a、b与0的大小关系即可作出判断．
【解答】解：二次函数的对称轴为：x＝﹣，
当a＞0，b＞0时，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
二次函数的图象开口向上，对称轴x＜0，
当a＞0，b＜0时，
一次函数的图象经过一、三、四象限，
二次函数的图象开口向上，对称轴x＞0，
当a＜0，b＞0时，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
二次函数的图象开口向下，对称轴x＞0，
当a＜0，b＜0时，
一次函数的图象经过二、三、四象限，
二次函数的图象开口向下，对称轴x＜0，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论，本题属于中等题型．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．
综上：③④正确，故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象性质，较为综合．需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想去解题．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．写出一个对称轴是y轴的抛物线的解析式： y＝x2+1 ．
【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
【解答】解：抛物线的解析式为y＝x2+1，
故答案为：y＝x2+1
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ．
【分析】找到对称轴，根据距离对称轴的距离可判断y的大小．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x＝1，
∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键．
13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是 b≤2 ．
【分析】先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x＝b，且当x＞b时，y随x的增大而减小，由于已知当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则可得判断b≤2．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝＝b，
而a＝﹣1＜0，
∴当x＞b时，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴b≤1，
解得b≤2．
故答案为b≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x+）2+，顶点坐标是（﹣，），对称轴是直线x＝﹣，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小．
14．已知抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线上存在一点P，使
△ABP的面积为10，则点P的坐标为 （4，5）或（﹣2，5） ．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：由x2+2x﹣3＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
所以AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，P的纵坐标应±5，
把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2+2x﹣3＝5，
解得x1＝﹣4，x2＝2．
把y＝﹣5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2+2x﹣3＝-5，
方程无解．
故P点坐标为（﹣4，5）或（2，5）．
【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用．
三．解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标．
【分析】（1）把求得的解析式化为顶点式，从而求出其对称轴和顶点坐标；
（2）由解析式，令y＝0，得到方程，﹣3x2+6x+9＝0，然后根据十字相乘法求出方程的根，从而求出抛物线与坐标轴的交点坐标；
【解答】解：（1）∵y＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x﹣1）2+12
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，12）；
（2）∵x＝0，y＝9，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，9）
∵y＝0，
∴﹣3x2+6x+9＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（﹣1，0）．
【点评】（1）第一问考查函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键是将函数的解析式化为顶点式；
（2）第三问主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
16．已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求抛物线的解析式．
【分析】设出抛物线的二根式方程，将C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入得：3＝﹣3a，即a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y＝2x2+4x+1重合，请求出a、b、c的值．
【分析】此题可以逆推：将函数y＝2x2+4x+1的图象，先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，进而可得a、b、c的值．
【解答】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
当y＝2x2+4x+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，可得抛物线y＝ax2+bx+c的图象，
∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣4x+2，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝2．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
18．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式，
（2）请直接写出使y1≤y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）因为点A（﹣1，0）、B（2，﹣3）都在一次函数和二次函数图象上，一次函数只有一个待定系数m，所以将A（﹣1，0）、B（2，﹣3）中任意一点的坐标代入y2＝﹣x+m即可；二次函数y1＝ax2+bx﹣3有两个待定系数a、b，所以需要A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点的坐标都代入y1＝ax2+bx﹣3，用二元一次方程组解出a、b的值．
（2）直接观察图象中同一个横坐标对应的y1、y2的值，直接得到答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y2＝﹣x+m得：0＝﹣（﹣1）+m，
∴m＝﹣1．
把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点代入y1＝ax2+bx﹣3得：，
解得：，
∴y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），抛物线开口向上，
∵A（﹣1，0），B（2，﹣3）
∴当y1≤y2时，x≤﹣1或x≥2．
【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法是解题的关键．
19．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，解出m即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为（7，），根据题意即﹣×72+7b+4＞3+，再解出b的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+7b+4＞3+，
解得：b＞．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
20．我们知道，二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 （2，﹣1） ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 y＝﹣2（x﹣2）2+1 ．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6＝（x﹣1）2+5．
①二次函数M的函数表达式为 y＝﹣（x+1）2+1 ．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，动点P在抛物线y6上，作PD⊥直线AB，请求出PD最小时P点的坐标．
【分析】（1）二次函数y＝2（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1），则该点关于原点的对称点为（2，﹣1），此时抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，进而求解；
（2）①将y6＝（x﹣1）2+5向下平移6个单位得到y＝（x﹣1）2﹣1，此时该抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），该点关于原点的对称点为（﹣1，1），进而求解；
②求出直线AB的函数表达式为：y＝x+2，令x+2＝（x﹣1）2+5，即x2﹣3x+4＝0，此时方程无实数根，二次函数y6开口向上，则二次函数在一次函数上方，把y＝x+2向上平移n个单位得y＝x+2+n，当y＝x+2+n与y6有唯一交点时，点P与直线AB的距离最短，进而求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2（x+2）2+1的顶点坐标为（﹣2，1），
则该点关于原点的对称点为（2，﹣1），
此时抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，
则这个抛物线的2阶变换的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1+2＝﹣2（x﹣2）2+1，
故答案为：（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2+1；
（2）①将y6＝（x﹣1）2+5向下平移6个单位得到y＝（x﹣1）2﹣1，
此时该抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
该点关于原点的对称点为（﹣1，1），
则抛物线M的表达式为y＝﹣（x+1）2+1，
故答案为：y＝﹣（x+1）2+1；
②存在，理由如下：
∵y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，
故点B（﹣2，0），
而点A（﹣1，1），
由点A、B的坐标得：直线AB的函数表达式为：y＝x+2，
令x+2＝（x﹣1）2+5，即x2﹣3x+4＝0，
此时方程无实数根，二次函数y6开口向上，
∴二次函数在一次函数上方，
∴把y＝x+2向上平移n个单位得y＝x+2+n，
当y＝x+2+n与y6有唯一交点时，点P与直线AB的距离最短，
令x+2+n＝（x﹣1）2+5，即x2﹣3x+4﹣n＝0，
∵两个函数有唯一交点，
∴b2﹣4ac＝0，即（﹣3）2﹣4（4﹣n）＝0，
解得n＝，
故x2﹣3x+4﹣n＝0变为x2﹣3x+＝0，
解得x＝，
当x＝时，y＝（x﹣1）2+5＝，
故点P的坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形得平移、根的判别式、新定义等，综合性强，难度适中．
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