2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第二册3.1排列与组合讲义（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第二册3.1排列与组合讲义（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 200.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-14 19:40:10 | ||
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文档简介
3.1排列与组合（新课）
知识梳理
分类计数原理与分步计数原理
①分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。
②分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。
原则：先分类后分步；由特殊点入手。
排列与排列数
①排列：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
②排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作
组合与组合数
①组合：从个不同元素中取出个元素组成一个组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
②组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.
公式 （1） （2）（，且）.特别地，
性质 （1）①；②. （2）①；②
典例解析
考点一：乘法原理 加法原理
例1：教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )
A．10种 B．32种 C．25种 D．16种
变式1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个
变式2：用五个数字可以组成比20000大且百位数字不是3的没有重复数字的的五位数多少个？
考点二：捆绑法 插空法
例2. 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法
变式1. 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法
变式2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A． B．
C． D．
考点三：定序问题 环排问题
例3：书架上的一格原有6本不同的书，现在要再放3本不同的书，但要保持原有的书的相对顺序不变，方法只有（ ）种.
A. B. C. D.
变式1：7个人站成一排照相，其中甲乙丙3人的身高各不相同，则甲乙丙3人从高到矮且自左向右的排法有多少种？
变式2：某家6口人围坐在1张圆桌旁，如果最小的小孩要坐在父母中间，那么有多少种排法？
考点四：排队模型
①捆绑②插空③定序④环排
例4：6个人排成一排：
（1）共有多少种不同的排法？
（2）甲乙两人相邻则共有多少种排法？
（3）甲乙两人不相邻则共有多少种排法？
（4）甲在乙前面则有多少种排法？
（5）6人围成一圈，共有几种排法？
（6）甲不站在排头且乙不站在排尾的排法有多少种？
变式1：四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种
变式2. 12名同学合影，站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A. B. C. D.
考点五：分组模型
①球与组都无序②球有序组无序③球无序组有序(隔板法)④球与组都有序
例5:6个相同的小球分成三堆，每堆至少有一个球，则有多少种分法？
变式1:6个相同的小球，分给三名小朋友，每人至少一个球，则有多少种分法？
变式2：10个相同的小球，分给三名小朋友，①每人至少一个球，则有多少种分法？
②每人至少2个球，则有多少种分法？
例6:把6个不同的小球分成三堆，每堆至少一个球，则有多少种分法？
变式1：把6个不同的小球，分给三名小朋友，①则有多少种分法？②若每人至少一个球，则有多少种分法？
变式2：七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
分成三组，分别1,2,4人；
选出5人，一组两人，一组三人；
选6人，分成两组，都是三人；
分成三组，两组2人，一组3人；
选6人，分成三组，每组两人，分别进行挖土，运土，种树。
考点六：直接法 间接法
例7: 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共有6节课，如果第一节课不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？
变式1：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.280种 B.240种 C.180种 D.96种
变式2：2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机4项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前2项工作，其余3人均能从事这4项工作，则不同的选派方案共有（ ）种
A．36 B. 12 C. 18 D. 48
考点七：染色问题
例8. 用5种不同的颜色给下图中4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，要使相邻区域不同色，那么有 种不同的涂色方法.
变式1： 如下图，用6中不同颜色给图中的4个格子涂1中颜色，要求最多使用3种颜色，且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种.
变式2：（2008全国1）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
考点八：错位排列
例9.同学4个人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．6 B. 9 C. 11 D. 23
变式1：将标号为的10个球放入标号的10个盒子内，每个盒内放1个球，恰好有3个球的标号与其所在的盒子的标号不一致的放入种数为（ ）
A．120 B. 240 C. 360 D. 720
变式2.设有编号为的5个球和编号为的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内，要求每个盒内放入1个球，要求盒子的编号与球的编号均不相同，则放球方法共有（ ）种.
A．46 B. 44 C. 33 D. 45
巩固练习
1.5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有_____.
2.（1）4名男生、3名女生站成一排，女生不相邻的排法有多少种？
（2）4名男生，3名女生站成一排，要求男生之间不相邻，且女生之间也不相邻，则不同的排法有多少种？
（3）4名男生、4名女生站成一排，男生之间不相邻，且女生之间也不相邻的排法有多少种？
3.个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲不在排头，也不在排尾；
（2）甲、乙、丙三人必须在一起；
（3）甲、乙、丙三人两两不相邻；
（4）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序。
4.（2010北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
5.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现在排2人就座，规定前排中间3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234 B. 346 C. 350 D. 363
6.4名男生和3名女生排对照相.
（1）分成两排，且前排3人、后排4人，有多少种方法？
（2）女生在前、男生在后有多少种方法？
（3）若再有1位老师加入，且这8个人身高各不相同，站成前后两排，每排各4人，则每列中前排一定比后排高的排法有多少种？
7.8个人排成两排，每排4人，且其中甲、乙两人必须在前排且不在两端，丙必须在后排，则不同的排法有多少种？
8. 8个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有多少种坐法？
9.高三某班上午有节课，现从名教师中安排人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）。
A. B. C. D.
10.将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，不同的放球方法有 种.
11.将9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有 种.
12.将编号为、、、的四个小球任意地放入、、、四个小盒中，每个盒中放球的个数不受限制，恰好有一个盒子是空的概率为（ ）。
A. B. C. D.
13.某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）。
A.个 B.个 C.个 D.个
14.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A. B. C. D.
15.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种 （用数字作答）
16.（2009天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）.
17.（2007北京）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
18.（2009四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
19.五种不同的商品在货架上排成一排，其中、两种必须排在一起，而、两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（ ）。
A.种 B.种 C.种 D.种
20.在一次合唱中有个女生（其中有个领唱）和个男生分成两排表演。
（1）每排人，问共有多少种不同的排法？
（2）领唱站在前排，男生站在后排，还是每排人，问有多少种不同的排法？
21.某公园有，，三只小船，船最多可乘人，船最多可乘人，船只能乘人，现有个大人和个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ）。
A.种 B.种 C.种 D.种
22. 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1，5，9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种.
A.108 B.60 C.48 D.36
3.1排列与组合答案
例1： D
变式1： 30
变式2： 78
例2. 4320
变式1. 2880
变式2. D
例3： C
变式1： 840
变式2： 12
例4：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
变式1： 144
变式2. C
例5: 3
变式1:10
变式2： 36；15
例6: 90
变式1： ，540
变式2：（1）105（2）210（3）70（4）105（5）630
例7: 504
变式1： B
变式2： A
例8. 260
变式1：390
变式2： B
例9：B
变式1： B
变式2. B
巩固练习
1. 78
2.（1）1440 （2）144 （3）1152
3.（1）72种 （2）36种 （3）12种 （4）20种
4. B
5. B
6.（1）5040 （2）144 （3）2520
7. 960
8. 1200
9. A
10. 25
11.10
12. A
13. A
14.D
15. 36
16.324个
17. B
18. B
19. C
20.（1） （2）
21. C
22. A
2
1
知识梳理
分类计数原理与分步计数原理
①分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。
②分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。
原则：先分类后分步；由特殊点入手。
排列与排列数
①排列：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
②排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作
组合与组合数
①组合：从个不同元素中取出个元素组成一个组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
②组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.
公式 （1） （2）（，且）.特别地，
性质 （1）①；②. （2）①；②
典例解析
考点一：乘法原理 加法原理
例1：教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )
A．10种 B．32种 C．25种 D．16种
变式1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个
变式2：用五个数字可以组成比20000大且百位数字不是3的没有重复数字的的五位数多少个？
考点二：捆绑法 插空法
例2. 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法
变式1. 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法
变式2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A． B．
C． D．
考点三：定序问题 环排问题
例3：书架上的一格原有6本不同的书，现在要再放3本不同的书，但要保持原有的书的相对顺序不变，方法只有（ ）种.
A. B. C. D.
变式1：7个人站成一排照相，其中甲乙丙3人的身高各不相同，则甲乙丙3人从高到矮且自左向右的排法有多少种？
变式2：某家6口人围坐在1张圆桌旁，如果最小的小孩要坐在父母中间，那么有多少种排法？
考点四：排队模型
①捆绑②插空③定序④环排
例4：6个人排成一排：
（1）共有多少种不同的排法？
（2）甲乙两人相邻则共有多少种排法？
（3）甲乙两人不相邻则共有多少种排法？
（4）甲在乙前面则有多少种排法？
（5）6人围成一圈，共有几种排法？
（6）甲不站在排头且乙不站在排尾的排法有多少种？
变式1：四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种
变式2. 12名同学合影，站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A. B. C. D.
考点五：分组模型
①球与组都无序②球有序组无序③球无序组有序(隔板法)④球与组都有序
例5:6个相同的小球分成三堆，每堆至少有一个球，则有多少种分法？
变式1:6个相同的小球，分给三名小朋友，每人至少一个球，则有多少种分法？
变式2：10个相同的小球，分给三名小朋友，①每人至少一个球，则有多少种分法？
②每人至少2个球，则有多少种分法？
例6:把6个不同的小球分成三堆，每堆至少一个球，则有多少种分法？
变式1：把6个不同的小球，分给三名小朋友，①则有多少种分法？②若每人至少一个球，则有多少种分法？
变式2：七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
分成三组，分别1,2,4人；
选出5人，一组两人，一组三人；
选6人，分成两组，都是三人；
分成三组，两组2人，一组3人；
选6人，分成三组，每组两人，分别进行挖土，运土，种树。
考点六：直接法 间接法
例7: 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共有6节课，如果第一节课不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？
变式1：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.280种 B.240种 C.180种 D.96种
变式2：2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机4项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前2项工作，其余3人均能从事这4项工作，则不同的选派方案共有（ ）种
A．36 B. 12 C. 18 D. 48
考点七：染色问题
例8. 用5种不同的颜色给下图中4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，要使相邻区域不同色，那么有 种不同的涂色方法.
变式1： 如下图，用6中不同颜色给图中的4个格子涂1中颜色，要求最多使用3种颜色，且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种.
变式2：（2008全国1）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
考点八：错位排列
例9.同学4个人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．6 B. 9 C. 11 D. 23
变式1：将标号为的10个球放入标号的10个盒子内，每个盒内放1个球，恰好有3个球的标号与其所在的盒子的标号不一致的放入种数为（ ）
A．120 B. 240 C. 360 D. 720
变式2.设有编号为的5个球和编号为的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内，要求每个盒内放入1个球，要求盒子的编号与球的编号均不相同，则放球方法共有（ ）种.
A．46 B. 44 C. 33 D. 45
巩固练习
1.5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有_____.
2.（1）4名男生、3名女生站成一排，女生不相邻的排法有多少种？
（2）4名男生，3名女生站成一排，要求男生之间不相邻，且女生之间也不相邻，则不同的排法有多少种？
（3）4名男生、4名女生站成一排，男生之间不相邻，且女生之间也不相邻的排法有多少种？
3.个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲不在排头，也不在排尾；
（2）甲、乙、丙三人必须在一起；
（3）甲、乙、丙三人两两不相邻；
（4）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序。
4.（2010北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
5.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现在排2人就座，规定前排中间3个座位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234 B. 346 C. 350 D. 363
6.4名男生和3名女生排对照相.
（1）分成两排，且前排3人、后排4人，有多少种方法？
（2）女生在前、男生在后有多少种方法？
（3）若再有1位老师加入，且这8个人身高各不相同，站成前后两排，每排各4人，则每列中前排一定比后排高的排法有多少种？
7.8个人排成两排，每排4人，且其中甲、乙两人必须在前排且不在两端，丙必须在后排，则不同的排法有多少种？
8. 8个人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有多少种坐法？
9.高三某班上午有节课，现从名教师中安排人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ）。
A. B. C. D.
10.将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，不同的放球方法有 种.
11.将9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有 种.
12.将编号为、、、的四个小球任意地放入、、、四个小盒中，每个盒中放球的个数不受限制，恰好有一个盒子是空的概率为（ ）。
A. B. C. D.
13.某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）。
A.个 B.个 C.个 D.个
14.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A. B. C. D.
15.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种 （用数字作答）
16.（2009天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）.
17.（2007北京）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
18.（2009四川）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
19.五种不同的商品在货架上排成一排，其中、两种必须排在一起，而、两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（ ）。
A.种 B.种 C.种 D.种
20.在一次合唱中有个女生（其中有个领唱）和个男生分成两排表演。
（1）每排人，问共有多少种不同的排法？
（2）领唱站在前排，男生站在后排，还是每排人，问有多少种不同的排法？
21.某公园有，，三只小船，船最多可乘人，船最多可乘人，船只能乘人，现有个大人和个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ）。
A.种 B.种 C.种 D.种
22. 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1，5，9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种.
A.108 B.60 C.48 D.36
3.1排列与组合答案
例1： D
变式1： 30
变式2： 78
例2. 4320
变式1. 2880
变式2. D
例3： C
变式1： 840
变式2： 12
例4：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
变式1： 144
变式2. C
例5: 3
变式1:10
变式2： 36；15
例6: 90
变式1： ，540
变式2：（1）105（2）210（3）70（4）105（5）630
例7: 504
变式1： B
变式2： A
例8. 260
变式1：390
变式2： B
例9：B
变式1： B
变式2. B
巩固练习
1. 78
2.（1）1440 （2）144 （3）1152
3.（1）72种 （2）36种 （3）12种 （4）20种
4. B
5. B
6.（1）5040 （2）144 （3）2520
7. 960
8. 1200
9. A
10. 25
11.10
12. A
13. A
14.D
15. 36
16.324个
17. B
18. B
19. C
20.（1） （2）
21. C
22. A
2
1