2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第二册4.2随机变量讲义（Word含答案）

4.2随机变量（新课）
知识梳理
离散型随机变量分布列
①如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
②设离散型随机变量可能取的值为：
取每一个值的概率，则称表为随机变量的概率分布列。
… …
P … …
③随机变量的数学期望：方差：
超几何分布
二项分布
Pn ( k ) Cnk p k q nk , (k 0,1,2,…, n, q 1 p) ，
～ B(n, p) ，则 E np ， D np(1 p) 。
正态分布
1.正态曲线的定义
函数的图像为正态分布密谋曲线，简称正态曲线
注： 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差。
2.正态曲线的性质：
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x= 对称；
③曲线在 x= 处达到峰值
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；
⑥当 一定时，曲线形状由 确定。 越小，曲线越“瘦高”； 越大，曲线越“矮胖”。
典例解析
考点一：离散型随机变量分布列
例1．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．
（）求至少回答对一个问题的概率．
（）求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列．
（）求这位挑战者闯关成功的概率．
变式1．甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中、、环的概率分别为、、，乙一次射击命中、环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
（1）在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
（2）记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的分布列；
（3）进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率．
变式2．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一件送5元优惠券的活动．已知某网民购买，， 商品的概率分别为， ， ，至少购买一件的概率为，最多购买两件种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
（1）求该网民分别购买，两种商品的概率；
（2）用随机变量表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望．
考点二：超几何分布
例2．2019年某市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67，82，78，86，96，81，73，84，76，59，85，93，其中成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现从这12件作品中任意抽取3件.
（1）恰好抽到2件优秀作品的概率；
（2）若抽到优秀作品的件数为，求的分布列.
变式1．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．
变式2．五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：
（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.
考点三：二项分布
例3．甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得2分，乙得1分.
（1）求乙获得这次比赛胜利的概率；
（2）设表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望.
变式1．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.
变式2．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是．
（1）分别求出小球落入袋和袋中的概率；
（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球的个数．求的分布列、数学期望和方差．
考点四：正态分布
例4．已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
例5．近年来，双十一购物狂欢节（简称“双11”）活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略，调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间（单位：小时），发现近似服从正态分布．
（1）求的估计值；
（2）该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户，这10000名客户在2017年“双11”活动期间，用于网购时间属于区间的客户数为．该商家计划在2018年“双11”活动前对这名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户0.05元． 求该商家所发广告总费用的平均估计值．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
变式1．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
组别
频数
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
概率
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
变式2．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
（1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者”奖励金额每人元；“超健康生活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，
则，.
巩固练习
1．探月工程“嫦娥四号”探测器于2018年12月8日成功发射，实现了人类首次月球背面软着陆.以嫦娥四号为任务圆满成功为标志，我国探月工程四期和深空探测工程全面拉开序幕.根据部署，我国探月工程到2020年前将实现“绕、落、回”三步走目标.为了实现目标，各科研团队进行积极的备战工作.某科研团队现正准备攻克甲、乙、丙三项新技术，甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，分别可获得科研经费万，万，万.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术没有对应的科研经费.
（1）求该科研团队获得万科研经费的概率；
（2）记该科研团队获得的科研经费为随机变量，求的分布列与数学期望.
2．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额（元） 支付方式 大于2000
仅使用 18人 9人 3人
仅使用 10人 14人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；
3．高考改革后，学生除了语数外三门必选外，可在类科目：物理、化学、生物和类科目：政治、地理、历史共6个科目中任选3门．
（1）求小明同学选类科目数的分布列．
（2）求小明同学从类和类科目中均至少选择1门科目的概率．
4．某工厂生产的10件产品中，有6件为一等品，4件为二等品.
（1）随机选取2件产品，至少有1件二等品的概率是多少？
（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列.
5．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算合格.
（1）设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为、，写出随机变量、的分布列；
（2）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（3）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
6．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
7．甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；
（2）若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．
8．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，，每个项目测试的概率都是.
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.
9．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列.
（2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
10．乒乓球单打决赛，采用7局4胜，每一局都是一方胜、一方负，没有平局，先胜4局者获胜，若没有一方赢够4局，比赛继续，直到有一方赢够4局为止，比赛结束，现甲、乙两人决赛，每局甲胜乙的概率为.
（1）求打了6局甲取胜的概率；
（2）求打了7局比赛结束的概率.
11．已知随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
12．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．若，且，则等于（ ）
A．0.45 B．0.3 C．0.1 D．0.05
14．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；
②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.
15．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金．
（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）
附：若，则，.
（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.
（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，
方法一：三次箱内摸奖机会；
方法二：一次箱内摸奖机会.
请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
4.2 随机变量答案
例题分析
例1．（Ⅰ）；（Ⅱ）随机变量的分布列是: （Ⅲ）.
变式1．（1）；（2）随机变量的分布列如下表所示：（3）.
变式2．（1）；（2）X的分布列为，期望
例2．（1）；（2）的分布列为：
0 1 2 3
变式1．（1）；（2）X的分布列为：
X 0 10 20 50 60
P
变式2．（1）（2）随机变量的概率分布为，数学期望为（3）
2 3 4 5 6
例3．（1）；（2）的分布列为：期望.
2 3 4
变式1．（1）随机变量的分布列为：；（2）.
X 0 1 2 3 4 5
P
变式2．（1） ；（2）则的分布列为：
0 1 2 3 4
例4．D
变式1．B
变式2．C
例5．（1）；（2）238.6
变式1．（1）；（2）随机变量的分布列如下表所示：
变式2．（1）.（2）54人.（3）的分布列为：
巩固练习
1．（1）；（2）随机变量的分布列为：期望
0 20 40 60 80 100 120
2．（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为：期望是1
0 1 2
3．（1）的分布列为：（2）.
0 1 2 3
4．（1）；（2）X的分布列为：
5．（1）随机变量、分布列为：（2）甲、乙两人考试合格的概率分别为，（3）
0 1 2 3
1 2 3
6．（1） ； （2）随机变量的分布列为：.
0 1 2
7．（1）；（2）的分布列为，期望.
2 3 4 5
8．(1)；(2) 随机变量X的概率分布表为：期望
X 0 1 2 3
P
9．（1）分布列为：（2）.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
10 20 100
10．（1）；（2）.
11．A
12．D
13．D
14．（1）其性能等级为丙；（2）①；②的概率分布列为：期望为.
15．(1) 中奖的人数约为人.(2) 分布列为：(3)选方法二所得奖金的期望值较大.
（或） （或） （或） （或）
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