2021秋鲁教版五四制八年级数学上册第一章因式分解达标检测卷（word版含答案）

第一章达标检测卷
一、选择题(本大题共12道小题，每小题3分，满分36分)
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(　　)
A．6a2b2＝2a2·3b2 B．1－a2＝(1＋a)(1－a)
C．(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2 D．a2－2a＋3＝(a－1)2＋2
2．多项式3xmyn－1－6xm－1yn(m，n均为大于1的整数)各项的公因式是(　　)
A．6xm－1yn－1 B．3xm－1yn－1 C．3xmyn D．6xmyn
3．计算21×3.14＋79×3.14＝(　　)
A．282.6 B．289 C．354.4 D．314
4．下列因式分解正确的是(　　)
A．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．mn(m－n)－m(n－m)＝－m(n－m)(n＋1)
5．把多项式(a＋b)(a＋4b)－9ab因式分解，正确的结果是(　　)
A．(a－2b)2 B．(a＋2b)2 C．a(a－3b)2 D．ab(a＋3)(a－3)
6．已知ab＝2，a－3b＝－5，则代数式a2b－3ab2＋ab的值为(　　)
A．－6 B．－8 C．－10 D．－12
7．248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是(　　)
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
8．下列不可利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)分解因式的是(　　)
A．x2－3x＋2　B．x2＋3x＋2　 C．x2－2x－3　D．x2＋2x＋3
9．若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2020的值为(　　)
A．－2 019 B．－2 020 C．－2 022 D．－2 023
10．若相邻两边长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b＋ab3的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．78
11．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美．现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱美 B．山东美 C．我爱山东 D．山东美丽
12．若(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，则b＋c的值是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空题(本大题共6道小题，每小题3分，满分18分)
13．因式分解：2a2－8＝________________．
14．因式分解：24xy－4x2y－36y＝________________．
15．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为________．
16．已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y＝________．
17．已知a＋b＝2，则a2－b2＋2a＋6b＋2的值为________．
18．多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值共有________个．
三、解答题(本大题共7道小题，满分66分)
19．(10分)因式分解：
(1)2x3－18xy2; (2)3ab3－30a2b2＋75a3b；
(3)a2(x－y)＋16(y－x); (4)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16；
(5)(x2＋y2)2－4x2y2.
20．(6分)已知：x＋y＝5，(x－2)(y－2)＝－3.求下列代数式的的值：
(1)xy；　　　　　(2)x2＋4xy＋y2；　　　　　(3)x2＋xy＋5y.
21．(8分)放学时，王老师布置了一道分解因式题：(x＋y)2＋4(x－y)2－4(x2－y2)．小明思考了半天，没有答案，打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小明是怎样分解因式的吗？
22．(8分)阅读：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，　　　　　 ①
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2). ②
∴c2＝a2＋b2. ③
∴△ABC是直角三角形. ④
请根据上述解题过程回答下列问题：
(1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？
(2)请你将正确的解题过程写下来．
23．(10分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2028这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数分别为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？
24．(10分)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
(1)图B可以解释的代数恒等式是________________．
(2)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图C.
①若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的长方形，则需要1号卡片________张，2号卡片________张，3号卡片________张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形，使该长方形的面积为2a2＋5ab＋2b2，并利用你画的图形面积对2a2＋5ab＋2b2进行因式分解．
25．(14分)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2＋bx＋c进行因式分解呢？我们已经知道，(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a1a2x2＋a1c2x＋a2c1x＋c1c2＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2.反过来，就得到：
a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果a1c2＋a2c1的值正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解为(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2－x－6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6＝2×(－3)；然后把1，1，2，－3如图②所示摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)＋1×2＝－1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2－x－6就可以分解为(x＋2)(x－3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2＋x－6＝________________．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行因式分解：
(1)2x2＋5x－7＝________________；(2)6x2－7xy＋2y2＝________________．
【探究与拓展】
对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a分解成mn，作为第1列，c分解成pq，作为第2列，f分解成jk，作为第3列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
(1)分解因式3x2＋5xy－2y2＋x＋9y－4＝____________________．
(2)若关于x，y的二元二次多项式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
(3)已知x，y为整数，且满足x2＋3xy＋2y2＋2x＋3y＝－1，请写出一组符合题意的x，y的值．
答案
一、1.B　2.B　3.D　4.D　5.A　6.B
7．B　【点拨】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(224＋1)(212＋1)×65×63.故选B.
8．D　【点拨】x2－3x＋2＝x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝(x－1)(x－2)；
x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2＝(x＋1)(x＋2)；
x2－2x－3＝x2＋(1－3)x＋1×(－3)＝(x＋1)(x－3)；
x2＋2x＋3不可利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)分解因式，故选项D符合题意．
9．D　【点拨】∵x2－2x－1＝0，∴x2－2x＝1，∴2x3－7x2＋4x－2020＝2x3－4x2－3x2＋4x－2 020＝2x(x2－2x)－3x2＋4x－2 020＝6x－3x2－2 020＝－3(x2－2x)－2 020＝－3－2 020＝－2 023.故选D.
10．D　【点拨】根据题意得a＋b＝5，ab＝6，则a3b＋ab3＝ab(a2＋b2)＝ab[(a＋b)2－2ab]＝6×(52－2×6)＝6×13＝78.故选D.
11．C　【点拨】(x2－y2)a2－(x2－y2)b2＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x＋y)(x－y)(a＋b)(a－b)．由已知可得密码信息可能为“我爱山东”．故选C.
12．D　【点拨】∵(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，∴b2－2bc＋c2＝4c－4－4bc＋4b，∴(b2＋2bc＋c2)－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c)2－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c－2)2＝0，∴b＋c＝2.故选D.
二、13.2(a＋2)(a－2)
14．－4y(x－3)2
15．13或－11　【点拨】由题可知4x2－(k－1)x＋9是一个完全平方式，∴－(k－1)＝±12，解得k＝13或k＝－11.
16．2　【点拨】∵P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，
∴3P－2Q＝3(3xy－8x＋1)－2(x－2xy－2)＝7.
∴9xy－24x＋3－2x＋4xy＋4＝7，
∴13xy－26x＝0，
即13x(y－2)＝0.
∵x≠0，
∴y－2＝0.
∴y＝2.
17．10　【点拨】∵a＋b＝2，∴a2－b2＋2a＋6b＋2＝(a＋b)(a－b)＋2a＋6b＋2＝2(a－b)＋2a＋6b＋2＝2a－2b＋2a＋6b＋2＝4a＋4b＋2＝4(a＋b)＋2＝4×2＋2＝10.
18．5　【点拨】多项式4a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值为0，2，4，6，8，共5个．
三、19.解：(1)2x3－18xy2＝2x(x2－9y2)＝2x(x＋3y)(x－3y)；
(2)3ab3－30a2b2＋75a3b＝3ab(b2－10ab＋25a2)＝3ab(b－5a)2；
(3)a2(x－y)＋16(y－x)＝(x－y)(a2－16)＝(x－y)(a＋4)(a－4)；
(4)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16＝(m2－4m＋4)2＝(m－2)4；
(5)(x2＋y2)2－4x2y2＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.
20．解：(1)∵(x－2)(y－2)＝－3，
∴xy－2(x＋y)＋4＝－3.
∵x＋y＝5，∴xy＝3.
(2)∵x＋y＝5，xy＝3，
∴x2＋4xy＋y2＝(x＋y)2＋2xy＝25＋6＝31.
(3)x2＋xy＋5y＝x(x＋y)＋5y，
∵x＋y＝5，
∴x2＋xy＋5y＝5x＋5y＝5(x＋y)＝5×5＝25.
21．解：(x＋y)2＋4(x－y)2－4(x2－y2)
＝(x＋y)2＋[2(x－y)]2－2×2(x－y)·(x＋y)
＝[(x＋y)－2(x－y)]2
＝(3y－x)2.
22．解：(1)从第③步开始出现错误，错误的原因为：忽略了a2－b2＝0的可能；(2)正确的解题过程如下．
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．
∴c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0.
∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0.
∴a＝b或c2＝a2＋b2.
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．
23．解：(1)是神秘数．
∵28＝82－62，
2 028＝5082－5062，
∴28和2 028这两个数是神秘数．
(2)是．
∵(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，
∴由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．
(3)不是．
设两个连续奇数分别为2n＋1和2n－1其中n为整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋2)2－(2n)2－4.
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．
24．解：(1)(2n)2＝4n2.
(2)①1；2；3
②如图．
2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b)．
25．解：【阅读与思考】
如图．
(x＋3)(x－2)
【理解与应用】
(1)(x－1)(2x＋7)
(2)(3x－2y)(2x－y)
【探究与拓展】
(1)(x＋2y－1)(3x－y＋4)
(2)∵关于x，y的二元二次多项式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在其中1×1＝1，9×(－2)＝－18，(－8)×3＝－24；
而7＝1×(－2)＋1×9，－5＝1×(－8)＋1×3，
∴m＝9×3＋(－2)×(－8)＝43或m＝9×(－8)＋(－2)×3＝－78，
故m的值为43或－78；
(3)x＝－1，y＝0.(答案不唯一)
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