(共34张PPT)
1.3 公式法
第1课时 用平方差公式分解因式
第一章 因式分解
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C
D
A
A
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a＋6
(x2＋4)(x＋2)(x－2)
B
A
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3(2a＋b)(2a－b)
见习题
C
A
C
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
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19
见习题
1．【中考·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋b2 B．2a－b2
C．a2－b2 D．－a2－b2
C
2．【中考·桂林】因式分解a2－4的结果是( )
A．(a＋2)(a－2) B．(a－2)2
C．(a＋2)2 D．a(a－2)
A
3．【中考·北海】下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
4．【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
5．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除 B．被m整除
C．被m－1整除 D．被2m－1整除
A
【点拨】(4m＋5)2－9＝(4m＋5＋3)·(4m＋5－3)＝(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，∴能被8整除．
6．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( )
A．11 B．22
C．11或22 D．11的倍数
A
7．【中考·毕节】分解因式：x4－16＝_______________________________.
(x2＋4)(x＋2)(x－2)
*8.【中考·衢州】如图，从边长为a＋3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
a＋6
【点拨】拼成的长方形的面积＝(a＋3)2－32＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)．
∵拼成的长方形的宽为a，∴长是a＋6.
9．【中考·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(a2－4) B．2(a－2)2
C．2(a＋2)(a－2) D．2(a＋2)2
C
10．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
11．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．济南游
C．我爱济南 D．美我济南
C
12．【中考·东营】因式分解：12a2－3b2＝_______________．
3(2a＋b)(2a－b)
13．因式分解：169(a＋b)2－121(a－b)2.
解：169(a＋b)2－121(a－b)2
＝[13(a＋b)＋11(a－b)][13(a＋b)－11(a－b)]
＝(24a＋2b)(2a＋24b)
＝4(12a＋b)(a＋12b)．
14．把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；(2)x4－81y4；
(3)a4－9a2b2; (4)m2x4－16m2y4；
【点拨】解本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
(2)x4－81y4；
＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)]·[(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
＝(x2＋9y2)(x2－9y2)
＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)．
(3)a4－9a2b2; (4)m2x4－16m2y4；
＝a2(a2－9b2)
＝a2(a＋3b)(a－3b)．
＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
＝3[(m＋n)2－9n2]
＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n)
＝3(m＋4n)(m－2n)．
＝(1 997＋1 998)×(1 997－1 998)＋(1 999＋2 000)×(1 999－2 000)＋…＋(2 019＋2 020)×(2 019－2 020)＋(2 021＋2 022)×(2 021－2 022)
＝－(1 997＋1 998)－(1 999＋2 000)－…－(2 019＋2 020)－(2 021＋
2 022)
＝－(1 997＋1 998＋1 999＋2 000＋…＋2 019＋2 020＋2 021＋2 022)
＝－52 247.
(2)1 9972－1 9982＋1 9992－2 0002＋…＋2 0192－2 0202＋2 0212－2 0222.
16．已知a，b，c为△ABC的三边长，求证：(a－c)2－b2是负数．
证明：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
∴(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)＜0，
∴(a－c)2－b2是负数．
17．(1)利用因式分解求证：257－512能被250整除．
证明：∵257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2＝(57＋56)×(57－56)＝(57＋56)×62 500＝(57＋56)×2502，
∴257－512能被250整除．
(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
解： 233－2
＝2×(232－1)
＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个数分别是17，15.
18．(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求x2－4y2的值．
【点拨】本题运用整体思想求值，将分解后的因式的值整体代入求解．
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求x2－4y2的值．
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
∴a－b＝3，a＋b＝2.
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
19．李老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27.王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个具有上述规律的算式；(不同于上面算式)
解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
证明：设m，n为整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．
①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；
②当m，n是一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．
综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．(共31张PPT)
1.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
第一章 因式分解
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4x4(答案不唯一)
A
A
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C
C
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C
a(a－3b)2
C
D
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·张家界】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48
C．32 D．16
A
3．给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是_________________．(写出一个即可)
4x4(答案不唯一)
【点拨】A中a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)2，故此选项错误；B中a2－9b2＝(a－3b)(a＋3b)，故此选项错误；C中a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，正确；D中a2－ab＋a＝a(a－b＋1)，故此选项错误．故选C.
4．【中考·益阳】下列因式分解正确的是( )
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)
B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2
D．a2－ab＋a＝a(a－b)
C
5．【中考·贺州】下列各式分解因式正确的是( )
A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2
B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2
C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)
D．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)(x＋y)
A
【点拨】A中x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，正确；B中2x2－4xy＋9y2无法分解因式，故此选项错误；C中2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，故此选项错误；D中x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故此选项错误．故选A.
6．把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
C
7．把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( )
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
C
8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
【点拨】从图形的特征入手，利用面积公式求解．
9．【中考·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是____________．
a(a－3b)2
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2.
故选C.
11．【中考·潍坊】下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)
B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
D
*12.【中考·安徽】已知三个实数a，b，c满足a－2b＋c＝0，a＋2b＋c<0，则( )
A．b＞0，b2－ac≤0
B．b＜0，b2－ac≤0
C．b＞0，b2－ac≥0
D．b＜0，b2－ac≥0
【答案】D
【答案】C
14．把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
(3)a3－a＋2b－2a2b；
(4)【中考·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
＝(a2－4＋3)2
＝(a2－1)2
＝(a＋1)2(a－1)2.
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b；
＝a(a2－1)＋2b(1－a2)
＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)【中考·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
＝(a－1)2＋4(a－1)
＝(a－1)(a－1＋4)
＝(a－1)(a＋3)．
16．已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
【点拨】灵活运用完全平方公式变形，然后整体代入求值．
解：∵x2－y2＝20，
∴[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2＝(x2－y2)2＝202＝400.
17．何老师安排喜欢探究问题的小明解决某些问题，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3.
请你仿照例题的方法帮小明解决下面问题：
(1)若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋12b－61，c是△ABC中最短边的长(三边长各不相等)，且c为整数，那么c可能是哪几个数？
解：∵a2＋b2＝10a＋12b－61，
∴(a－5)2＋(b－6)2＝0，∴a＝5，b＝6，
∴1＜c＜11.
∵c是△ABC中最短边的长，且c为整数，
∴c可能是2，3，4.
18．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2＋6x＋5的最小值．
x2＋6x＋5
＝x2＋2·x·3＋32－32＋5
＝(x＋3)2－4，
∵(x＋3)2≥0，
∴当x＝－3时，x2＋6x＋5有最小值－4.
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2＋4x－1＝x2＋2·x·2＋22－22－1＝(x＋a)2＋b，则ab的值是________．
－10
(3)若代数式2x2＋kx＋7的最小值为2，求k的值．(共30张PPT)
1.3 公式法
第3课时 分组分解法及分解因式的其他方法
第一章 因式分解
4
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见习题
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见习题
14
见习题
(1)2；4(2)x1＝4，x2＝－1.
见习题
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见习题
1．多项式x2－4与x2－4x＋4的公因式为( )
A．x＋4 B．x－4
C．x＋2 D．x－2
D
【点拨】x2－4＝(x＋2)(x－2)，x2－4x＋4＝(x－2)2，∴它们的公因式为x－2.
2．把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( )
A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
B
3．将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式，正确的是( )
A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b)
B．(a－9b)(a＋9b)
C．(a－9b)(a＋9b＋2)
D．(a－3b)(a＋3b＋2)
D
【点拨】a2－9b2＋2a－6b＝(a2－9b2)＋(2a－6b)＝(a＋3b)(a－3b)＋2(a－3b)＝(a－3b)(a＋3b＋2)．
4．将多项式x2－2xy＋y2＋x－y分解因式，其结果是( )
A．(x－y)(x－y＋1)
B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
A
5．分解因式：
(1)ac＋ad＋bc＋bd＝______________；
(2)x2－xy＋xz－yz＝______________；
(3)a2－4ab＋4b2－1＝____________________．
(a＋b)(c＋d)
【点拨】a2－4ab＋4b2－1＝(a－2b)2－1＝(a－2b＋1)(a－2b－1)．
(x－y)(x＋z)
(a－2b＋1)(a－2b－1)
6．把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
＝(1＋x)＋(x2＋x)
＝(1＋x)＋x(x＋1)
＝(1＋x)(1＋x)
＝(1＋x)2.
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
＝(xy2－2xy)＋(2y－4)
＝xy(y－2)＋2(y－2)
＝(y－2)(xy＋2)．
＝(a2＋2a＋1)－b2＝(a＋1)2－b2
＝(a＋1＋b)(a＋1－b)
＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
C
8．【 中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
D
9．【 中考·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( )
A．a2－1 B．a2＋a
C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
【点拨】∵a2－1＝(a＋1)(a－1)，
a2＋a＝a(a＋1)，a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)，
(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝(a＋2－1)2＝(a＋1)2，
∴结果中不含有因式a＋1的是选项C.故选C.
C
10．甲、乙两位同学进行如下的因式分解：
甲：x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你仿照这两位同学的解法，把下列各式分解因式：
(1)m3－2m2－4m＋8；
＝m2(m－2)－4(m－2)
＝(m－2)(m2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
(2)x2－2xy＋y2－9.
＝(x－y)2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3)．
11．灵活运用各种方法对下列多项式因式分解：
(1)a2＋b2＋2ab－16；
＝(a2＋2ab＋b2)－16
＝(a＋b)2－42
＝(a＋b＋4)(a＋b－4)．
(2)2x2－3x－8y2＋6y；
＝(2x2－8y2)－(3x－6y)
＝2(x＋2y)(x－2y)－3(x－2y)
＝(x－2y)[2(x＋2y)－3]
＝(x－2y)(2x＋4y－3)．
(3)(m2－1)2＋6(1－m2)＋9；
解:设m2－1＝a，则原式可化为a2－6a＋9.
∵a2－6a＋9＝(a－3)2，
∴原式＝(m2－1－3)2
＝(m2－4)2
＝(m＋2)2(m－2)2.
(4)(x2＋y2－1)2－4x2y2.
＝(x2＋y2－1)2－(2xy)2＝(x2＋y2－1＋2xy)(x2＋y2－1－2xy)
＝[(x＋y)2－1][(x－y)2－1]
＝(x＋y＋1)(x＋y－1)(x－y＋1)(x－y－1)．
12．【 中考·湘潭】由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式 x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
2
4
(2)应用：请用上述方法解方程 x2－3x－4＝0.
·
解：x2－3x－4＝0，
(x－4)(x＋1)＝0，
x－4＝0或x＋1＝0，
x1＝4，x2＝－1.
·
·
·
13．阅读下面的材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x－3
＝x2＋2x＋1－4
＝(x＋1)2－22
＝x2－6x＋9－16
＝(x－3)2－42
＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)．
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)．
请你仿照上述方法分解因式：
(1)x2－6x－7； (2)a2＋4ab－5b2.
＝a2＋4ab＋4b2－9b2
＝(a＋2b)2－(3b)2
＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)
＝(a＋5b)(a－b)．
14．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16 (第二步)
＝(y＋4)2 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2. (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)；
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：________________；
不彻底
(x－2)4
(2)请你模仿上述方法尝试对多项式(m2－2m)(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
解：设m2－2m＝y，则原式＝y(y＋2)＋1
＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(m2－2m＋1)2
＝(m－1)4.
15．阅读下面的材料：
对于形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一个完全平方式，然后从多项式中再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
(1)已知：x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)－2的值；
(2)求x2＋8x＋7的最小值．
解：x2＋8x＋7＝(x2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.因为(x＋4)2≥0，所以(x＋4)2－9≥－9.所以x2＋8x＋7的最小值是－9.(共28张PPT)
1.3 公式法
第3课时 活用因式分解的方法分解因式
第一章 因式分解
4
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6
7
1
2
3
5
D
D
B
(ab－1)(a＋b)
8
D
见习题
A
(b＋c＋a)(b＋c－a)
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10
11
12
9
13
见习题
见习题
D
C
见习题
14
15
见习题
见习题
1．多项式x2－4与x2－4x＋4的公因式为( )
A．x＋4 B．x－4
C．x＋2 D．x－2
D
【点拨】x2－4＝(x＋2)(x－2)，x2－4x＋4＝(x－2)2，∴它们的公因式为x－2.
2．把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( )
A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
B
3．将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( )
A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b)
B．(a－9b)(a＋9b)
C．(a－9b)(a＋9b＋2)
D．(a－3b)(a＋3b＋2)
D
【点拨】a2－9b2＋2a－6b＝(a2－9b2)＋(2a－6b)＝(a＋3b)(a－3b)＋2(a－3b)＝(a－3b)(a＋3b＋2)．
4．分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( )
A．(x－y)(x－y＋1)
B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
A
5．【中考·大庆】分解因式：a2b＋ab2－a－b＝________________.
(ab－1)(a＋b)
【点拨】先分组，再利用提公因式法分解因式．原式＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(ab－1)(a＋b)．
6．【中考·宜宾】分解因式：b2＋c2＋2bc－a2＝________________.
(b＋c＋a)(b＋c－a)
【点拨】本题被分解的式子是四项，应考虑运用分组分解法进行分解．
原式＝(b＋c)2－a2＝(b＋c＋a)(b＋c－a)．
7．把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
＝(1＋x)＋(x2＋x)
＝(1＋x)＋x(x＋1)
＝(1＋x)(1＋x)
＝(1＋x)2.
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
＝(xy2－2xy)＋(2y－4)
＝xy(y－2)＋2(y－2)
＝(y－2)(xy＋2)．
＝(a2＋2a＋1)－b2
＝(a＋1)2－b2
＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
8．【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
D
9．【中考·绥化】下列因式分解正确的是( )
A．x2－x＝x(x＋1)
B．a2－3a－4＝(a＋4)(a－1)
C．a2＋2ab－b2＝(a－b)2
D．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
D
10．【中考·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( )
A．a2－1
B．a2＋a
C．a2＋a－2
D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
【点拨】∵a2－1＝(a＋1)(a－1)，
a2＋a＝a(a＋1)，
a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)，
(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝(a＋2－1)2＝(a＋1)2，
∴结果中不含有因式a＋1的是选项C.
故选C.
【答案】C
*11.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m3－2m2－4m＋8；
(2)x2－2xy＋y2－9.
＝m2(m－2)－4(m－2)
＝(m－2)(m2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
＝(x－y)2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3)．
12．【中考·百色】阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．
(1)二次项系数2＝1×2.
(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”．
① 1×3＋2×(－1)＝1，
② 1×(－1)＋2×3＝5，
③ 1×(－3)＋2×1＝－1，
④ 1×1＋2×(－3)＝－5；
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1.
即：(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
仿照以上方法，分解因式：
3x2＋5x－12＝______________.
(3x－4)(x＋3)
13．阅读并解答．
在分解因式x2－4x－5时，李老师是这样做的：
x2－4x－5
＝x2－4x＋4－9 (第一步)
＝(x－2)2－32 (第二步)
＝(x－2＋3)(x－2－3) (第三步)
＝(x＋1)(x－5). (第四步)
(1)从第一步到第二步运用了__________公式；
(2)从第二步到第三步运用了________公式；
(3)仿照上面的方法分解因式：x2＋2x－3.
完全平方
平方差
【点拨】本题把多项式中的常数项拆成两项，与多项式中其他的项分组后，再进行因式分解．
解：x2＋2x－3
＝x2＋2x＋1－4
＝(x＋1)2－22
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)
14．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16 (第二步)
＝(y＋4)2 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2. (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：________．
不彻底
(x－2)4
【点拨】先对两个因式中的相同项进行换元，再仿照题中的方法进行因式分解．
解：设m2－2m＝y，则
原式＝y(y＋2)＋1
＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2
＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(m2－2m)(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
15．阅读下面文字内容：
形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
(1)已知：x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)－2的值；
(2)求x2＋8x＋7的最小值．
解：x2＋8x＋7＝(x2＋8x＋16)－16＋7
＝(x＋4)2－9.
因为(x＋4)2≥0，
所以(x＋4)2－9≥－9.
所以x2＋8x＋7的最小值是－9.(共33张PPT)
1.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
第一章 因式分解
4
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6
7
1
2
3
5
D
4x4(答案不唯一)
D
A
25；5
±10
8
A
D
9
C
10
C
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11
12
13
B
14
A
C
B
15
x2＋x
16
17
18
C
19
见习题
见习题
20
400.
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21
22
等边三角形．
见习题
1．【中考·龙岩】下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
A
2．已知多项式x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
3．已知多项式4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( )
A．8 B．±8 C．24 D．±24
D
4．给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是____________(写出一个即可)．
4x4
(答案不唯一)
5．【中考·珠海】填空：x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
25
5
6．【 中考·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________.
±10
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
D
8．【 中考·长春】把多项式x2－8x＋16分解因式，结果正确的是( )
A．(x－4)2 B．(x－16)2
C．(x＋4)(x－4) D．(x＋16)(x－16)
A
9．把多项式2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
C
10．把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解，结果为( )
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
C
11．如图，将一个正方形分成四个部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
12．【 中考·聊城】对多项式8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)
＝2a(2a－1)2.故选C.
B
【答案】A
15．若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________．
【点拨】因为x3＋2x2＋x＝x(x2＋2x＋1)＝x(x＋1)2＝x(x＋1)·(x＋1)，且长方形的一边长为x＋1，所以其邻边长为x(x＋1)＝x2＋x.
x2＋x
【答案】C
17．把下列各式分解因式：
(1)9x2－6x＋1；(2)(x＋y)2＋4(x＋y)＋4.
＝(3x－1)2.
＝(x＋y)2＋4(x＋y)＋22
＝(x＋y＋2)2.
18．把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
(3)a3－a＋2b－2a2b；
(4)x2－2xy＋y2＋2x－2y＋1.
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2
＝(a＋1)2(a－1)2.
＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
＝a(a2－1)＋2b(1－a2)
＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(3)a3－a＋2b－2a2b；
(4)x2－2xy＋y2＋2x－2y＋1.
＝(x－y)2＋2(x－y)＋1
＝(x－y＋1)2.
20．已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
【点拨】灵活运用完全平方公式分解因式，然后代入已知条件求值．
解：∵x2－y2＝20，∴[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2＝(x2－y2)2＝202＝400.
21．已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足(a＋b＋c)2＝3(a2＋b2＋c2)，试确定△ABC的形状．
【点拨】利用完全平方公式把原式整理成三 个非负数的和为零的形式，得到a＝b＝c，即可确定△ABC的形状．
22．(1)实验与观察：(用“＞”“＝”或“＜”填空)
当x＝－5时，x2－2x＋2________1；
当x＝1时，x2－2x＋2________1；
(2)归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；
＞
＝
解：换数比较略，发现x2－2x＋2≥1.证明：∵x2－2x＋2＝x2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1，x为任意实数时，(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，即x2－2x＋2≥1.
(3)拓展与应用：求式子a2＋b2－6a－8b＋30的最小值．
解：a2＋b2－6a－8b＋30＝(a－3)2＋(b－4)2＋5.
∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＋5≥5，
∴式子a2＋b2－6a－8b＋30的最小值是5.(共39张PPT)
1.3 公式法
第1课时 用平方差公式分解因式
第一章 因式分解
4
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6
7
1
2
3
5
B
D
－4
C
B
C
8
3
A
9
15
10
a＋6
提示：点击 进入习题
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11
12
13
D
14
D
A
C
15
(3a＋b)(b－a)．
16
17
18
(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
19
见习题
见习题
(1)5.(2)－44 165.
20
见习题
提示：点击 进入习题
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21
22
见习题
见习题
1．【 中考·百色】分解因式16－x2的结果为( )
A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2
A
C
3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的个数有( )
①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
B
4．【中考·北海】下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
5．将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
【答案】C
－4
8．【中考·益阳】若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
3
9．【中考·金华】已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a2－b2的值是________．
15
10．【 中考·衢州】如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
【点拨】拼成的长方形的面积＝(a＋3)2－32
＝(a＋3＋3)(a＋3－3)
＝a(a＋6)．
∵拼成的长方形的宽为a，
∴长是a＋6.
【答案】a＋6
11．【中考·广东】把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
D
12．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
13．【 中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【答案】C
14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
15．分解因式：(a＋b)2－4a2.
【点拨】本题易将4a2写成(4a)2导致出错．
解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)．
16．分解因式： a4－1.
【点拨】本题易犯的错误是分解不彻底，要注意a2－1还可以继续分解，应分解到不能再分解．
解：a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
17．把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；(2)x4－81y4；
(3)a4－9a2b2; (4)m2x4－16m2y4；
【点拨】本题的解题思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
17．把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
(2)x4－81y4；
＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
＝(x2＋9y2)(x2－9y2)
＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)．
(3)a4－9a2b2;
(4)m2x4－16m2y4；
＝a2(a2－9b2)
＝a2(a＋3b)(a－3b)．
＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
＝3[(m＋n)2－9n2]
＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n)
＝3(m＋4n)(m－2n)．
(2)1 9972－1 9982＋1 9992－2 0002＋…＋2 0172－2 0182.
＝(1 997＋1 998)×(1 997－1 998)＋(1 999＋2 000)×(1 999－2 000)＋…＋(2 017＋2 018)×(2 017－2 018)
＝－(1 997＋1 998)－(1 999＋2 000)－…－(2 017＋2 018)
＝－(1 997＋1 998＋1 999＋2 000＋…＋2 017＋2 018)
＝－44 165.
19．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，求证：(a－c)2－b2是负数．
证明：∵a，b，c为△ABC的三条边的长，∴a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
∴(a－c)2－b2＝(a－c＋b)·(a－c－b)＜0，
∴(a－c)2－b2是负数．
20．(1)利用因式分解求证：257－512能被250整除；
证明：∵257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2＝(57＋56)×(57－56)＝(57＋56)×62 500＝(57＋56)×2502，∴257－512能被250整除．
(2)233－2能被11至20之间的两个整数整除，求这两个整数．
解：233－2
＝2×(232－1)＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个整数分别是17，15.
21．(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x2－4y2的值．
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
∴a－b＝3，a＋b＝2.
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
22．李老师在黑板上写下三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，….
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
证明：设m，n为整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)·(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；②当m，n是一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
