2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质课时作业（Word含答案解析）

3.1.2 椭圆的简单几何性质课时作业
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
2．过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
4．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆有两个顶点在直线上，则此椭圆的焦点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
二、多选题
9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
10．（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为4
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
三、填空题
11．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
12．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________．
13．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．
14．已知椭圆：的右焦点为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点（点在第二象限）．若点关于轴的对称点为，且满足，则直线的方程是______．
四、解答题
15．已知圆的方程x2＋y2＝25，点A为该圆上的动点，AB与x轴垂直，B为垂足，点P分线段BA的比BP：PA=.
（1）求点P的轨迹方程并化为标准方程形式；
（2）写出轨迹的焦点坐标和准线方程.
16．已知椭圆的方程为，离心率，，分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相交于、两点，为原点，且.试探究点到直线的距离是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】
椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.
2．A
【分析】
先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果.
【详解】
因为焦点坐标为，设方程为，
将代入方程可得，解得，故方程为，
故选：A.
3．D
【详解】
∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
4．B
【分析】
由题意分析出b=c，直接求出离心率.
【详解】
由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，
所以b=c.
则，
所以离心率.
故选：B
5．A
【分析】
由给定直线求出它与坐标轴的交点即可求得a，b值，再计算得解.
【详解】
在中，由得，由得，则该直线交x轴于点，交y轴于点，
依题意得，，则，显然，椭圆焦点在x轴上，
所以椭圆的焦点坐标是.
故选：A
6．C
【分析】
分类讨论，，，用表示出离心率，解相应不等式可得的范围．
【详解】
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
7．B
【分析】
设待求椭圆方程，由已知共焦点椭圆的方程求焦点坐标，并结合短轴长求椭圆参数，进而写出椭圆方程即可.
【详解】
椭圆可化为，知焦点在轴上，焦点坐标为，
可设所求椭圆的方程为，则．又，即，
∴，即椭圆的标准方程为．
故选：B
8．B
【分析】
根据椭圆的定义，巧设变量，利用和离心率化简变形即可求解.
【详解】
由可设，则，由椭圆的定义得，，，
从而，
所以，
故，
所以.
故选：B.
9．AB
【分析】
由题意可得，从而可求出的值，进而可求出的值和离心率
【详解】
由已知可得，解得或（舍去）
，
∴长轴长为，短轴长为，离心率为，
故选：AB.
10．BD
【分析】
对于A，由椭圆的定义判断即可，对于B，设，，则可求出的值，再进行判断，对于C，直接求解椭圆的离心率判断即可，对于D，设，则可求出点到圆心的距离，再由进行判断即可
【详解】
对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．
对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B正确．
对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．
对于选项D，设，则点到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．
故选：BD．
11．
【分析】
由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.
【详解】
∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
12．
【分析】
设椭圆的长轴为2,短轴为2b，由题意可求得a、b的关系，结合椭圆的离心率计算即可.
【详解】
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，
由“切面”是一个椭圆，且“切面”所在平面与底面成角，
得，解得，
所以.
故答案为：
13．．
【分析】
由题可得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.
【详解】
设椭圆的半焦距为，由，，
可得，，解得，，
则，
即有椭圆的方程为，
联立直线和椭圆，
可得，
设被椭圆截得的弦的端点的横坐标分别为，，
则，，
可得弦长为.
故答案为：.
14．
【分析】
由点关于轴的对称点为，且满足，由直线的斜率为求解.
【详解】
如图所示：
椭圆：的右焦点为，
由点关于轴的对称点为，且满足，
所以，则， ，
所以直线的方程是，
即．
故答案为：.
15．（1）(y≠0)；（2）焦点为、，准线方程是x＝±.
【分析】
（1）设，根据题设知，由A在圆上代入圆的方程，整理即可得轨迹方程的标准形式；
（2）由（1）所得的椭圆方程，直接写出焦点坐标及准线方程即可.
【详解】
（1）设，即，又，则，
∵A在圆x2＋y2＝25上，
∴，标准方程为.
（2）由（1）知：轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉左右顶点，而，
∴焦点为，且准线方程为.
16．（1）（2）点到直线的距离是为定值，且为
【分析】
（1）由椭圆的离心率和通经的长度，结合联立求出的值，则椭圆的方程可求.
（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点横坐标的和与积，从而求出纵坐标的乘积，利用得到，把坐标乘积代入后求得的关系，求出点到直线的距离，整体代入后可求得距离为定值，当斜率不存在时，直接求解的坐标，也能得到距离是相同的定值.
【详解】
（1）由题意得①
又因为过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且
即②
由①②得
所以椭圆方程为：
（2）i当直线斜率存在时，设直线方程为，点
由
所以，由韦达定理得：
因此
因为，所以
此时满足条件，设原点到直线的距离为
则
ii当直线的斜率不存在时，因为,根据圆的对称性，设直线的方程为
可得或
此时原点到直线的距离仍为
综上可得，原点到直线的距离为
试卷第1页，共3页
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