2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课时作业（Word含答案解析）

3.3.2抛物线的简单几何性质课时作业
一、单选题
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
3．若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，准线为 ，点是抛物线上一点，于.若， ，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线被双曲线：所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
10．在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形，则该三角形的面积为
三、填空题
11．过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为___________.
12．已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则__________．
13．О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若，则三角形POF的面积为 _________.
14．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，则抛物线的方程为______．
四、解答题
15．已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，，设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
参考答案
1．C
【分析】
由抛物线定义即可求焦点弦.
【详解】
由抛物线定义知：，
∴，
故选：C
2．A
【分析】
将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
3．D
【分析】
由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合抛物线方程，即可知的最小值.
【详解】
由抛物线的性质知：焦点到抛物线上点，距离最小的点为抛物线顶点，而，有，
∴的最小值为，
故选：D
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质，根据抛物线的解析式求焦半径的最小值，属于简单题.
4．C
【分析】
根据题意，得到，推出为正三角形，求出，记准线与轴交于点，根据即可求出结果.
【详解】
因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，又，
所以为正三角形，所以，
记准线与轴交于点，则，
所以，
所以该抛物线方程为：.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求抛物线的方程，熟记抛物线的定义，以及抛物线方程的标准形式即可，属于基础题.
5．A
【分析】
根据抛物线方程得焦点坐标为，可得双曲线C的焦点在x轴上，且．根据以及解得，即可得解.
【详解】
由题意得抛物线的焦点坐标为，
则双曲线C的焦点在x轴上，且．
∵渐近线方程为，∴，即，
则，则，
故双曲线C的方程为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由抛物线方程求焦点坐标，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.
6．D
【分析】
根据题意，代入，求得弦长即可求得，再由基本量的计算即可得解.
【详解】
抛物线：的焦点为，
令，可得，
所以，，
由，所以，
所以.
故选：D
7．C
【分析】
通过点的坐标算出，再根据点以及点三点共线算出点坐标，再利用焦半径公式即可.
【详解】
由点在抛物线上得，设，由直线过定点得
，解得（舍去2），
所以
故选：C.
8．A
【分析】
先根据弦长结合抛物线的对称性，得出点的坐标，代入抛物线方程即可得到答案.
【详解】
由垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且
根据抛物线关于轴对称，则，
将点坐标代入抛物线方程可得：，解得
故选：A
9．AB
【分析】
由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解
【详解】
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
10．ABD
【分析】
根据平行四边形的性质可判断A；利用对应边成比例，三角形相似可判断B；由两点求斜率可判断C；利用三角形的面积公式可判断D.
【详解】
A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点，
因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确；
B，如图所示，连接，
则当，，
则，则∠A=∠C，故B正确；
C，设，，，
，解得，所以，故C错误；
D，设若为正三角形，如图：
由抛物线的对称性可知，，
则直线：，
则 ，解得，，
，
，故D正确.
故选：ABD
11．2
【分析】
求出过抛物线的焦点且与x轴垂直的直线，再求出它与抛物线交点坐标即可得解.
【详解】
抛物线的焦点，对称轴是x轴，
经过点F垂直于x轴的直线l：，
由得或，于是得直线l：与抛物线二交点，，
所以所求弦长为2.
故答案为：2
12．7
【分析】
根据题意，设，，可得，联立即可得解.
【详解】
设，，
可得，
，
由，带入可得：，
所以，
故答案为：7.
13．
【分析】
由抛物线的焦半径公式（或定义）求得点坐标，然后可计算三角形面积.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由，
设，则,,所以，即点的坐标为，
则的面积为．
故答案为：.
14．或
【分析】
根据抛物线的概念及其对称性，结合已知条件即可求解.
【详解】
设所求抛物线的方程为或，与圆的交点为，（，），由对称性，知，，则，即，所以，把代入，得，所以点在抛物线上，点在抛物线上，可得．
于是所求抛物线的方程为或．
故答案为：或.
15．（1），焦点坐标为；（2）8.
【分析】
（1）由抛物线的焦点到其准线的距离为，可得即可求解；
（2）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.
【详解】
解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
16．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由结合焦半径公式可解得，进而可得抛物线方程；
（2）设直线，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可证得结果.
【详解】
（1）∵点在抛物线上，且，
∴，解得，
∴抛物线的方程为．
（2）证明：依题意，设直线，，，
联立消去可得，
由韦达定理得，
∴，
即为定值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页