3.2.2 双曲线简单的几何性质课时作业
一、单选题
1.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是( )
A. B. C. D.
3.双曲线的左顶点与右焦点间的距离为( )
A.2 B.4 C.5 D.8
4.已知双曲线与直线有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则其顶点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6.等轴双曲线的一个焦点是,则其标准方程为( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的左、右焦点分别为,,离心率为,是双曲线上一点,且.若的面积为,则( )
A.1 B.2 C.4 D.
8.已知双曲线方程为,则双曲线的渐近线方程为( )
A.
B.
C.当时,为;当时,为
D.当时,为;当时,为
二、多选题
9.已知双曲线C:,下列对双曲线C判断正确的是( )
A.实轴长是虚轴长的2倍 B.焦距为4
C.离心率为 D.渐近线方程为
10.(多选)已知,分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,则下列结论正确的是( )
A.若,则双曲线离心率的取值范围为
B.若,则双曲线离心率的取值范围为
C.若,则双曲线离心率的取值范围为
D.若,则双曲线离心率的取值范围为
三、填空题
11.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB,则|AB|=________.
12.已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的方程为___________.
13.直线l过定点,且与双曲线有且只有一个公共点,则这样的不同直线的条数为__________.
14.已知双曲线与双曲线(其中,),设连接它们的顶点构成的四边形的面积为,连接它们的焦点构成的四边形的面积为,则的最大值为______.
四、解答题
15.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且经过点.
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的实轴长,离心率,焦点到渐近线的距离.
16.已知双曲线C的中心为直角坐标系的原点,它的右焦点为,虚轴长为2.
(1)求双曲线C渐近线方程;
(2)若直线与C的右支有两个不同的交点,求k的取值范围.
参考答案
1.C
【分析】
根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为:.
故选:C
2.D
【分析】
根据题意可知双曲线焦点在x轴上,列出方程,从而可得答案.
【详解】
解析:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.
∴ m2=1,即m=±1.
故选:D.
3.D
【分析】
由双曲线的性质易求.
【详解】
由,知,,所以左顶点与右焦点间的距离为.
故选:D.
4.C
【分析】
根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为,由题意得,
所以双曲线的离心率.
故选:C.
5.B
【分析】
根据条件求出,的大小,求出顶点坐标和渐近线方程,结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的方程得,
双曲线的虚轴长是实轴长的倍,,可得,
则双曲线的顶点为,双曲线的渐近线方程为,
不妨取渐近线,即,
则顶点到渐近线的距离.
故选:B.
6.D
【分析】
根据等轴双曲线,可得a=b,根据交点坐标,可求得c值,根据a,b,c的关系,即可得答案.
【详解】
∵等轴双曲线的一个焦点为,∴,且a=b,
又,
∴,即,
∴双曲线的标准方程为.
故选:D
7.D
【分析】
根据双曲线的定义,余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组,即可解出.
【详解】
设,.由,的面积为,
可得,∴①
由离心率为,可得,代入①式,可得.
故选:D.
8.A
【分析】
讨论和两种情况,化为双曲线的标准方程,再求解双曲线的渐近线方程.
【详解】
∵方程表示双曲线,∴.
若,方程化为,
此时,,渐近线方程为;
若,方程化为,
此时,,渐近线方程为.
综上所述,双曲线的渐近线方程为.
故选:A.
9.BD
【分析】
根据双曲线的标准方程求出a、b、c,可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程,对四个选项一一验证即可.
【详解】
∵双曲线C:∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是,虚轴长是,A错误;焦距为.B正确;离心率为,C错误:渐近线方程为,D正确.
故选:BD
10.BC
【分析】
根据题意,结合和,利用双曲线的定义分别得到和,由双曲线的离心率定义,即可求解.
【详解】
由题意,,分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,
若,可得,
根据双曲线的定义可得,则,解得;
若,可得,
根据双曲线的定义可得,则,解得.
故选:BC.
11.3
【详解】
解析 易得双曲线的左焦点F1(-2,0),
∴直线AB的方程为y= (x+2),
与双曲线方程联立,得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-,
∴|AB|=·
=×=3.
12.
【分析】
由题意可得,,再结合可求出的值,从而可求出双曲线的方程
【详解】
因为双曲线的焦距为,
所以,得,
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直,
所以,即,
因为,所以,
所以,
所以双曲线方程为,
故答案为:
13.2
【分析】
由双曲线的渐近线为,所以点在渐近线上,根据该点所在位置以及和双曲线关系,可得有两条直线和双曲线有一个公共点.
【详解】
因为点在渐近线上,所以这样的不同直线l的条数为2,
一条与另一条渐近线平行,
另外一条与双曲线相切,此时斜率不存在.
故答案为:2
14.
【分析】
根据对称性,两个四边形的面积都可以分为四个全等的直角三角形的面积,两个面积的比值用表示出来,再根据基本不等式求最大值.
【详解】
设双曲线的右顶点为,其坐标为,设右焦点为,坐标为,
设双曲线的上顶点为,其坐标为,设上焦点为,坐标为,
则,,
,当且仅当时等号成立,
故的最大值为.
故答案为:.
15.(1);(2)实轴长2,离心率为,距离为
【分析】
(1)先求出双曲线的渐近线方程,从而由题意可得,所以双曲线的方程可化为,再把坐标代入方程中求出的值,从而可得双曲线的方程;
(2)由双曲线方程可得,,,从而可得实轴长,离心率,焦点,再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】
(1)解:在双曲线中,,,
则渐近线方程为,
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线,
,
∴方程可化为,
又双曲线经过点,代入方程,
,解得,,
∴双曲线的方程为.
(2)解;由(1)知双曲线中,
,,,
∴实轴长,离心率为,
设双曲线的一个焦点为,一条渐近线方程为,
,
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
此题考查双曲线简单的几何性质的应用,考查计算能力,属于基础题
16.(1);(2).
【分析】
(1)由题设可得,写出双曲线方程,即可得渐近线方程;
(2)设交点,联立方程整理并根据一元二次方程解的性质列不等式组求k的范围.
【详解】
(1)由题设,,则双曲线方程为,
∴对应渐近线方程为: .
(2)设直线l与双曲线C右支的两交点为A,B且,
联立方程,,消.
由题意得:,解得:.
∴当A,B为直线l与C右支的两个交点时.
试卷第1页,共3页
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