2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1 函数的概念教学设计（表格式）

课题 3.1.1 函数的概念
教材分析 本节课选自人教A版（2019）第三章函数的概念与性质中的《3.1.1函数的概念》的内容.，函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学，在高中数学中占有很重要的比重. 学生对于函数并不陌生，初中阶段只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻. 在学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的概念，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题. 学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
课程目标 1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。 2.掌握判定函数和函数相等的方法。 3.学会求函数的定义域与函数值。
数学学科素养 1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义； 2.逻辑推理：相等函数的判断； 3.数学运算：求函数定义域和求函数值； 4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域； 5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
教学重难点 重点：函数的概念，函数的三要素。 难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
课前准备 多媒体
教学 环节 时间 安排 教师活动 学生活动 设计 意图 批注
2min 35min 3min 复习回顾，情景导入 1. 初中学习的函数的定义是什么？ 2.回顾初中学过哪些函数？表达式是怎样的？ 3.我们学习了集合的相关知识，那么在集合的观点下函数是如何定义呢？ 二、探索新知 探究一 函数的概念 问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。 1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？ 【分析】根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确.显然，其原因是每天关注到t的变化范围. 【答案】不正确。对应关系应为S=350t，其中 ， 问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 【分析】工资w是一周工作天数d的函数，对应关系为w=350d，其中d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}，对于数集A2中的任一个工作天数d，按照这种对应关系，在数集B2中都要唯一确定的工资w与其对应. 【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中 。 2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 【答案】不是。自变量的取值范围不一样。 问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 【分析】从图中的曲线可知，t的变化范围是数集，AQI的值I都在数集中，对于数集A3中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的I与之对应，因此，这里的I是t的函数. 【答案】是，t的变化范围是，I的范围是. 问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 【分析】y的取值范围是数集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015};根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B4={r|0B．
C．
D．
【答案】B 解： 对于A选项，当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意； 对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意； 对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意； 对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意. 故选：B． 解题技巧：（判断是否为函数） 1.（图形判断）y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象. 2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 变式训练1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 【答案】③ 【分析】 根据函数的定义，即可判断. 【详解】 ①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数． 故答案为：③ 探究二 区间的概念 设a，b是两个实数，而且a注意： （1）.区间（a,b）,必须有b>a； （2）.区间只能表示数集； （3）.区间不能表示单元素集； （4）.区间不能表示不连续的数集； （5）.区间的左端点必须小于右端点； （6）.区间都可以用数轴表示； （7）.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 题型二 区间 例 2已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为　　　　　. 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}. ∴A∩B={x|x<-3或-30时，求f(a),f(a-1)的值. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. 解：（1）有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义域就是 . (2) 因为a>0,所以有意义。 ， 解题方法（求函数值（域)的方法） 1.已知f(x)的表达式时,只需用数a替换表达式中的所有x即得f(a)的值. 2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则. 变式训练 已知函数； （1）求，的值． （2）求证：是定值． （3）求的值． 【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2018. 【分析】 （1）代入计算即可求得结果． （2）利用已知条件化简即可得为定值． （3）利用（2）的结论计算即可. 【详解】 解：(1)因为， 所以 (2)证明： (3)由(2)知，所以， 所以＝2018. 探究三 函数相等 1.思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？ 【答案】定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致. 题型五 同一函数 例5．下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可. 【详解】 对A，，对应关系不一致，故A错误； 对B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误； 对C，和的对应关系不一致，故C错误； 对D，和的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确. 故选：D. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则 1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等. 2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 变式训练 下列各组函数中为同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 同一函数的定义是两个函数有相同的定义域和表达式，对选项中各式分别求出定义域和化简后的解析式，对比可得是否为同一函数 【详解】 选项A, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系不相同, 所以不是同一个函数, 选项A错误; 选项B, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系也相同, 所以是同一个函数, 选项B正确; 选项C, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项C错误; 选项D, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项D错误. 故选：B. 三、小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 五、作业 课本67页练习、72页1-5 学生思考，独立完成，给出答案 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 学生独立完成 学生独立完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同总结结论 师生共同寻找规律，达到结论 学生独立完成 师生共同完成 师生共同完成 学生独立完成 师生共同完成 学生独立完成 学生独立完成 师生共同完成 学生独立完成 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 通过温故知新，帮助学生在回顾初中函数的定义及所学的基础函数的基础上，学习了集合的相关知识的背景下，思索用集合的观点如何定义函数呢？培养和发展数学抽象核心素养。 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。 进一步理解函数的概念，激发学生探求问题的兴趣。 检查公式的掌握情况 培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力 总结区间的注意点，进一步理解区间，通过学生分析、概括能力。 培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力 检查公式的掌握情况 通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的能力。 通过例题，进一步巩固函数的概念，提高学生分析问题，解决问题的能力。 通过思考，总结判断函数是否相等的方法，提高学生分析问题的能力。 通过例题，进一步巩固函数相等的判断方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点
板书 3.1.1函数的概念 1.定义 例1 例2 例3 例4 例5 2.区间