2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计（表格式）

课题 3.2.1 单调性与最大（小）值
教材分析 《函数的单调性与最大（小）值》是人教A版（2019）高中数学必修第一册第三章《3.2函数的基本性质》的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学.
课程目标 1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义； 2、会根据单调定义证明函数单调性； 3、理解函数的最大（小）值及其几何意义； 4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
数学学科素养 1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值； 2.逻辑推理：证明函数单调性； 3.数学运算：运用单调性解决不等式； 4.数据分析：利用图像求单调区间和最值； 5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。
教学重难点 重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明； 2、利用函数单调性或图像求最值. 难点：根据定义证明函数单调性．
课前准备 多媒体
教学 环节 时间 安排 教师活动 学生活动 设计 意图 批注
2min 35min 3min 一、复习回顾，情景导入 1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ 二、探索新知 探究一 单调性 在初中，我们利用函数图像研究过函数值随自变量的增大而增大（或）减小的性质，这一性质叫做函数的单调性. 1、思考：如何利用函数解析式描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？” 【分析】先画出它的图像，再从图像观察得出结论 【答案】图象在区间 上 逐渐上升， 在内随着x的增大，y也增大。 对于区间内任意，当时，都有。这是，就说函数在区间 上是增函数. 2、你能类似地描述在区间上是减函数吗？ 【答案】在区间内任取，得到，，当时，都有.这时，我们就说函数 在区间上是这减函数. 思考：函数，各有怎样的单调性 ？ 【分析】先画出图像，再观察图像得到结果 【答案】在区间（）上式单调递减，在区间（）上式单调递增. 在区间（）上式单调递增，在区间（）上式单调递减. 总结： 1.单调性概念： 2、单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． [点睛]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝ 在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． 题型一 利用图象确定函数的单调区间 例1、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。 【答案】函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。 解题技巧：（利用图象确定函数的单调区间） 1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下 降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开. 2.一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线. (3)反比例函数y=(k≠0)的单调性如下表所示. 变式训练 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 【答案】单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2] 【解析】f(x)=x|x-2|=图象如下图所示. 由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]. 题型二 证明函数的单调性 例2 根据定义，研究函数 的单调性。 【答案】解析见教材 结论： A用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取x1，x2∈D，且x10,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 例3 物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. 分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数. 【答案】解析见教材 探究二 函数的最大（小）值 1、思考：观察这两个函数图象，图中有个最高点，设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？ 【答案】f(x)< M 定义:一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在，使得. 则M是函数y= f (x)的最大值（maximum value） 2、思考：能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M; （2）存在，使得. 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）. 总结 最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)M存在x0∈I，使得结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何 意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标
题型四 利用函数的图象求函数的最值 例4 菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1米) 例4 已知函数 ，求函数的最大值与最小. 【答案】解析见教材 分析：由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上递减。所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值. 解析见教材。 解题技巧：(用图象法求最值的3个步骤) 变式训练 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域. 【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2] 【解析】y=-|x-1|+2=函数图象如图所示 由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2] 三、小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧五、四、作业 课本85页习题3.2 1-5 学生思考，独立完成，再让学生自由发言给出答案 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 学生独立完成 学生独立完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同总结结论 师生共同寻找规律，达到结论 学生独立完成 师生共同完成 师生共同完成 学生独立完成 师生共同完成 学生独立完成 学生独立完成 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 通过观察函数的图象，观察函数的变化规律，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。 通过思考，观察函数的图象，学生归纳随着x的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过思考，观察函数的图象，学生归纳随着x的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过思考，观察函数的图象，学生归纳随着x的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过思考，观察函数的图象，学生归纳随着x的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过思考，观察函数的图象，得到函数的单调性，进而归纳出函数单调性的定义。提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，进一步巩固函数单调性的定义。提高学生解决问题的能力。 通过练习，进一步巩固单调性的定义，提高学生解决问题的能力。 通过例题，教会学生利用单调性的定义证明函数的单调性，提高学生解决问题能力、用分类讨论解决问题的能力。 用单调性的定义解决物理学中的玻意耳定律，提高学生的学科交融能力。 观察函数的图象，回答问题，进而归纳出函数最大值的定义，提高学生的分析问题的能力。 让学生仿照函数最大值的定义，类比得到函数最小值的定义，提高学生的类比推理能力。 通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。 通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的能力。 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点
板书 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 函数的单调性 例1 例2 例3 单调性证明 最值 2.分段函数