2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课时作业（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课时作业（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-14 20:15:36 | ||
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文档简介
3.2.1双曲线及其标准方程课时作业
一、单选题
1．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
4．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．充要 C．必要不充分 D．既不充分又不必要
6．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
7．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
二、多选题
9．若方程表示双曲线，则实数m可能是（ ）
A．8 B．4 C．0 D．－5
10．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ）
A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
三、填空题
11．已知双曲线的一个焦点为，则的值为___________.
12．已知双曲线E：＝1（m，n＞0）的焦距为4，则m+n＝___.
13．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过坐标原点且与双曲线交于点，．若，则四边形的面积为______．
四、解答题
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
（2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
16．m，n为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线？
参考答案
1．C
【分析】
求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
2．C
【分析】
根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1故选：C
3．D
【分析】
根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解.
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
4．A
【分析】
用待定系数法求双曲线方程.
【详解】
双曲线，由题意可得：
∴双曲线为，即．
故选：A．
5．C
【分析】
根据双曲线方程的特点，利用直接法进行判断即可得解.
【详解】
若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：C
6．C
【分析】
利用双曲线的定义求.
【详解】
解：由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
7．A
【分析】
将带入，结合在双曲线上这一条件，联立可求出的取值范围.
【详解】
由题知，，
所以，
解得.
故选: A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
8．A
【分析】
根据双曲线的定义转化为可求解.
【详解】
设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
故选：A.
9．ABC
【分析】
根据双曲线的标准方程特征即可解出．
【详解】
若方程表示双曲线，则其是焦点在轴上的双曲线，所以，即．
故选：ABC．
10．BCD
【分析】
首先设，由，整理可得（），再根据各个选项中的取值范围，结合椭圆和双曲线的标准方程，进行分析判断即可得解.
【详解】
设，，
整理可得（），
对A，若，点M的轨迹为圆(不含与x轴的交点)，故A错误；
对B，若，由（），则，故B正确；
对C，若，由（），则，故C正确；
对D，，（），，故D正确.
故选：BCD.
11．
【分析】
根据双曲线的交点有，由双曲线的参数关系求即可.
【详解】
由题设知：，即，又可得.
故答案为：
12．4
【分析】
根据焦距为4，可求得半焦距c，根据双曲线中a，b，c的关系，即可得答案.
【详解】
由题意得，解得，且，
因此
所以，即，
故答案为：4
13．
【分析】
根据动圆与圆及圆分别外切于点和点可得，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.
【详解】
如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
14．
【分析】
由双曲线的对称性可知四边形是矩形，结合双曲线定义即可求出与，从而得出面积．
【详解】
由双曲线的对称性可知，四边形的对角线互相平分且相等，
所以四边形是矩形．
设，，
则．
因为，
所以，
化简得，
所以四边形的面积为．
故答案为：
15．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用焦点在x轴上的双曲线标准方程，将点(－5,2)代入即可求解.
（2）根据焦点位置，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
(1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是.
16．（1）；（2），，且；（3）
【分析】
（1）若方程表示圆，则，即可得答案.
（2）若方程表示椭圆，则，，且，即可得答案；
（3）若方程表示双曲线，则，即可得答案.
【详解】
（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆；
（2）若方程表示椭圆，则，，且，
所以当，，且时，方程为椭圆；
（3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
一、单选题
1．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
4．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．充要 C．必要不充分 D．既不充分又不必要
6．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
7．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
二、多选题
9．若方程表示双曲线，则实数m可能是（ ）
A．8 B．4 C．0 D．－5
10．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ）
A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
三、填空题
11．已知双曲线的一个焦点为，则的值为___________.
12．已知双曲线E：＝1（m，n＞0）的焦距为4，则m+n＝___.
13．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线过坐标原点且与双曲线交于点，．若，则四边形的面积为______．
四、解答题
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
（2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
16．m，n为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线？
参考答案
1．C
【分析】
求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
2．C
【分析】
根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1
3．D
【分析】
根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解.
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
4．A
【分析】
用待定系数法求双曲线方程.
【详解】
双曲线，由题意可得：
∴双曲线为，即．
故选：A．
5．C
【分析】
根据双曲线方程的特点，利用直接法进行判断即可得解.
【详解】
若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：C
6．C
【分析】
利用双曲线的定义求.
【详解】
解：由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
7．A
【分析】
将带入，结合在双曲线上这一条件，联立可求出的取值范围.
【详解】
由题知，，
所以，
解得.
故选: A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
8．A
【分析】
根据双曲线的定义转化为可求解.
【详解】
设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
故选：A.
9．ABC
【分析】
根据双曲线的标准方程特征即可解出．
【详解】
若方程表示双曲线，则其是焦点在轴上的双曲线，所以，即．
故选：ABC．
10．BCD
【分析】
首先设，由，整理可得（），再根据各个选项中的取值范围，结合椭圆和双曲线的标准方程，进行分析判断即可得解.
【详解】
设，，
整理可得（），
对A，若，点M的轨迹为圆(不含与x轴的交点)，故A错误；
对B，若，由（），则，故B正确；
对C，若，由（），则，故C正确；
对D，，（），，故D正确.
故选：BCD.
11．
【分析】
根据双曲线的交点有，由双曲线的参数关系求即可.
【详解】
由题设知：，即，又可得.
故答案为：
12．4
【分析】
根据焦距为4，可求得半焦距c，根据双曲线中a，b，c的关系，即可得答案.
【详解】
由题意得，解得，且，
因此
所以，即，
故答案为：4
13．
【分析】
根据动圆与圆及圆分别外切于点和点可得，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.
【详解】
如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
14．
【分析】
由双曲线的对称性可知四边形是矩形，结合双曲线定义即可求出与，从而得出面积．
【详解】
由双曲线的对称性可知，四边形的对角线互相平分且相等，
所以四边形是矩形．
设，，
则．
因为，
所以，
化简得，
所以四边形的面积为．
故答案为：
15．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用焦点在x轴上的双曲线标准方程，将点(－5,2)代入即可求解.
（2）根据焦点位置，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
(1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是.
16．（1）；（2），，且；（3）
【分析】
（1）若方程表示圆，则，即可得答案.
（2）若方程表示椭圆，则，，且，即可得答案；
（3）若方程表示双曲线，则，即可得答案.
【详解】
（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆；
（2）若方程表示椭圆，则，，且，
所以当，，且时，方程为椭圆；
（3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页