2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元检测题（基础卷）（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元检测题（基础卷）（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-14 20:15:03 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线的方程单元检测题（基础卷）
一、单选题
1．若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一 个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
5．与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=2的椭圆方程是（ ）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
6．抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．已知中心在原点，焦点在轴的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
10．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
11．设点、直线分别是椭圆的右焦点、右准线，点是椭圆上一点，记点到直线的距离为，椭圆的离心率为，则的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______．
14．双曲线的渐近线方程为___________.
15．如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是________．
16．已知F为抛物线C∶的焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为________.
四、解答题
17．（1）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为，求该椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程．
18．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
19．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
20．已知双曲线的标准方程为 ．
（1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标；
（2）若点在双曲线上，求证：．
21．已知点（0，1），，直线、都是圆的切线（点不在轴上）.
（Ⅰ）求过点且焦点在轴上的抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点(1,0)作直线与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，问是否存在定点使为常数？若存在，求出点的坐标及常数；若不存在，请说明理由
22．设椭圆的左右焦点分别为，是上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，求的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
参考答案
1．A
【分析】
根据焦点坐标可确定焦点的位置，进而可求出.
【详解】
椭圆的一个焦点为，
可得，解得.
故选：A.
2．B
【分析】
根据题意可设双曲线方程为，代入两点坐标，解方程即可得解.
【详解】
因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为．
因为，两点在双曲线上，
所以，解得，
于是所求双曲线的标准方程为.
故选：B．
3．B
【分析】
直接由抛物线的焦点坐标公式即可求解.
【详解】
因为的焦点坐标为，
所以抛物线的焦点坐标是，
故选：B.
4．A
【分析】
连接QA．由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r，然后由椭圆的定义进行判断即可
【详解】
连接QA．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，
故选：A．
5．D
【分析】
先根据椭圆求得椭圆的半焦距，再根据和与的关系求得，即可得出答案．
【详解】
解：椭圆，即，
，且焦点在y轴上，
椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，
椭圆的半焦距，又b=2，
，
椭圆的标准方程为.
故选：D．
6．A
【分析】
将抛物线方程化为标准形式，求出准线方程，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】
抛物线即，可得准线方程，
因为到其准线的距离为1，
所以，解得，
故选：.
7．D
【分析】
结合椭圆的定义求得的最小值
【详解】
，
设椭圆的右焦点为，
，
当在的正上方时，等号成立.
故选：D
8．C
【分析】
由求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
双曲线的焦点在轴，
由题意，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
9．AC
【分析】
根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】
由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
10．ABD
【分析】
求出双曲线的标准方程，得到a＝4，b＝2，c＝6，即得解.
【详解】
解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
故选：ABD
11．BC
【分析】
化简得，再利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】
解：由题得 ，又，
所以.
所以满足题意的充分不必要条件为：，或，.
故选：BC
12．AC
【分析】
根据新定义，只要有，椭圆即为“对偶椭圆”，由椭圆方程求得，判断即得．
【详解】
由题意，得当时，该椭圆为“对偶椭圆”．由得，
选项A中，；选项B中，，，；
选项Ｃ中，；选项D中，，，．
故选：AC．
13．
【分析】
根据题意可得间的关系，结合即可得到答案.
【详解】
设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得，
联立，解得，
∴椭圆的标准方程是．
故答案为：.
14．
【分析】
根据双曲线的方程直接写出渐近线.
【详解】
因为双曲线
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
15．6
【分析】
设F2为右焦点，连接P2F2，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，从而可求得答案
【详解】
由，可得，设F2为右焦点，连接P2F2，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
故答案为：6
16．
【分析】
由抛物线方程确定焦点、准线，令，根据抛物线的定义有，进而可求P的坐标.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，若，
由抛物线的定义，得：，即，故有，
∴的坐标为.
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据长轴长及焦点坐标，写出椭圆标准方程即可；
（2）由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为，再由所过的点写出双曲线标准方程即可.
【详解】
（1）由题设，长轴长为6即，焦点为即，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意，渐近线方程为，令，
又在双曲线上，
∴，即，
18．（1）；（2）或
【分析】
（1）利用准线方程求解
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用求解.
【详解】
（1）的准线过
故，则
抛物线方程为
（2）设切线方程为
与抛物线方程联立有
故
故直线l的方程为：或
【点睛】
求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意知为等腰直角三角形，且焦距长为2，即可求出，写出椭圆方程即可.
（2）由∠F1PF2为钝角，即有sin∠OPF2＝，结合椭圆离心率性质即可求出离心率的取值范围.
【详解】
（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，知b＝c，a＝c，
由焦距长为2，所以c＝1， a＝ ，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，即45°＜∠OPF2＜90°，
所以sin∠OPF2＝，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
20．详见解析
【分析】
(1)根据双曲线的标准方程，求得a和b的值，即可求得答案；
(2)根据直线斜率求得，从而可得.
【详解】
(1)由，可得：，，所以离心率为，左、右焦点分别为,；
(2)因为,,,所以，所以
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.
21．(1)(2) 定点
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为：
由得，所以的方程为
由得点的坐标为.
可求得抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，
代入抛物线方程并整理得
设则
设，则
当时上式是一个与无关的常数.
所以存在定点，相应的常数是.
考点：本题考查直线与抛物线的综合问题；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
点评：本题主要考查了直线与抛物线的综合问题．研究直线与抛物线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与抛物线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合的思想．
22．（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为，最大值为.
【分析】
（1）由题中已知条件求出椭圆中的即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，则，，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到，根据二次函数知识知当时求得最小值，当时求得最大值.
【详解】
（1）因为椭圆，
所以此椭圆的焦点在轴上，
因为直线经过椭圆的一个焦点，
所以令，则，即半焦距，所以，
因为的周长为，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，设，则，.
所以，
代入，得，
对称轴为，又由于，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的最小值为，最大值为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
一、单选题
1．若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一 个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
5．与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=2的椭圆方程是（ ）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
6．抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．已知中心在原点，焦点在轴的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B．
C． D．的坐标为
10．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
11．设点、直线分别是椭圆的右焦点、右准线，点是椭圆上一点，记点到直线的距离为，椭圆的离心率为，则的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______．
14．双曲线的渐近线方程为___________.
15．如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是________．
16．已知F为抛物线C∶的焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为________.
四、解答题
17．（1）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为，求该椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程．
18．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
19．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
20．已知双曲线的标准方程为 ．
（1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标；
（2）若点在双曲线上，求证：．
21．已知点（0，1），，直线、都是圆的切线（点不在轴上）.
（Ⅰ）求过点且焦点在轴上的抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点(1,0)作直线与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，问是否存在定点使为常数？若存在，求出点的坐标及常数；若不存在，请说明理由
22．设椭圆的左右焦点分别为，是上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，求的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
参考答案
1．A
【分析】
根据焦点坐标可确定焦点的位置，进而可求出.
【详解】
椭圆的一个焦点为，
可得，解得.
故选：A.
2．B
【分析】
根据题意可设双曲线方程为，代入两点坐标，解方程即可得解.
【详解】
因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为．
因为，两点在双曲线上，
所以，解得，
于是所求双曲线的标准方程为.
故选：B．
3．B
【分析】
直接由抛物线的焦点坐标公式即可求解.
【详解】
因为的焦点坐标为，
所以抛物线的焦点坐标是，
故选：B.
4．A
【分析】
连接QA．由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r，然后由椭圆的定义进行判断即可
【详解】
连接QA．由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，
故选：A．
5．D
【分析】
先根据椭圆求得椭圆的半焦距，再根据和与的关系求得，即可得出答案．
【详解】
解：椭圆，即，
，且焦点在y轴上，
椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，
椭圆的半焦距，又b=2，
，
椭圆的标准方程为.
故选：D．
6．A
【分析】
将抛物线方程化为标准形式，求出准线方程，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】
抛物线即，可得准线方程，
因为到其准线的距离为1，
所以，解得，
故选：.
7．D
【分析】
结合椭圆的定义求得的最小值
【详解】
，
设椭圆的右焦点为，
，
当在的正上方时，等号成立.
故选：D
8．C
【分析】
由求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
双曲线的焦点在轴，
由题意，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
9．AC
【分析】
根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】
由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
10．ABD
【分析】
求出双曲线的标准方程，得到a＝4，b＝2，c＝6，即得解.
【详解】
解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
故选：ABD
11．BC
【分析】
化简得，再利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】
解：由题得 ，又，
所以.
所以满足题意的充分不必要条件为：，或，.
故选：BC
12．AC
【分析】
根据新定义，只要有，椭圆即为“对偶椭圆”，由椭圆方程求得，判断即得．
【详解】
由题意，得当时，该椭圆为“对偶椭圆”．由得，
选项A中，；选项B中，，，；
选项Ｃ中，；选项D中，，，．
故选：AC．
13．
【分析】
根据题意可得间的关系，结合即可得到答案.
【详解】
设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得，
联立，解得，
∴椭圆的标准方程是．
故答案为：.
14．
【分析】
根据双曲线的方程直接写出渐近线.
【详解】
因为双曲线
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
15．6
【分析】
设F2为右焦点，连接P2F2，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，从而可求得答案
【详解】
由，可得，设F2为右焦点，连接P2F2，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
故答案为：6
16．
【分析】
由抛物线方程确定焦点、准线，令，根据抛物线的定义有，进而可求P的坐标.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，若，
由抛物线的定义，得：，即，故有，
∴的坐标为.
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据长轴长及焦点坐标，写出椭圆标准方程即可；
（2）由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为，再由所过的点写出双曲线标准方程即可.
【详解】
（1）由题设，长轴长为6即，焦点为即，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意，渐近线方程为，令，
又在双曲线上，
∴，即，
18．（1）；（2）或
【分析】
（1）利用准线方程求解
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用求解.
【详解】
（1）的准线过
故，则
抛物线方程为
（2）设切线方程为
与抛物线方程联立有
故
故直线l的方程为：或
【点睛】
求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意知为等腰直角三角形，且焦距长为2，即可求出，写出椭圆方程即可.
（2）由∠F1PF2为钝角，即有sin∠OPF2＝，结合椭圆离心率性质即可求出离心率的取值范围.
【详解】
（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，知b＝c，a＝c，
由焦距长为2，所以c＝1， a＝ ，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，即45°＜∠OPF2＜90°，
所以sin∠OPF2＝，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
20．详见解析
【分析】
(1)根据双曲线的标准方程，求得a和b的值，即可求得答案；
(2)根据直线斜率求得，从而可得.
【详解】
(1)由，可得：，，所以离心率为，左、右焦点分别为,；
(2)因为,,,所以，所以
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.
21．(1)(2) 定点
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设直线的方程为：
由得，所以的方程为
由得点的坐标为.
可求得抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，
代入抛物线方程并整理得
设则
设，则
当时上式是一个与无关的常数.
所以存在定点，相应的常数是.
考点：本题考查直线与抛物线的综合问题；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
点评：本题主要考查了直线与抛物线的综合问题．研究直线与抛物线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与抛物线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合的思想．
22．（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为，最大值为.
【分析】
（1）由题中已知条件求出椭圆中的即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，则，，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到，根据二次函数知识知当时求得最小值，当时求得最大值.
【详解】
（1）因为椭圆，
所以此椭圆的焦点在轴上，
因为直线经过椭圆的一个焦点，
所以令，则，即半焦距，所以，
因为的周长为，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，设，则，.
所以，
代入，得，
对称轴为，又由于，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的最小值为，最大值为.
试卷第1页，共3页
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