22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式-初中数学人教版九年级上册同步试题精编（Word版 含答案）

22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式
知识点1 设一般式求函数解析式
例1．二次函数的图象与轴交于点和点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断是否在此函数图象上，并说明理由．
变式2．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
3．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当时，y的值随x值的增大而增大
知识点2 设顶点式求二次函数解析式
例4．抛物线的顶点为，则它与交点的坐标为_______
变式5．一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
6．已知抛物线经过点和．
（1）求、的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
知识点3 设交点式求二次函数解析式
例7．已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
变式8．抛物线与轴的交点为，与轴的交点为和，则抛物线的函数关系式为________．
课堂练习
9．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______．
11．在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … m 0 3 n 3 …
（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向　　，对称轴为　　；
（2）求|m﹣n|的值．
12．如图，已知点O（0，0），A（1，2），抛物线（h为常数）与y轴的交点为B．
（1）经过点A，求它的解析式，并写出此时的对称轴及顶点坐标；
（2）设点B的纵坐标为，求的最大值，此时上有两点，，其中，比较与的大小．
13．二次函数图象与x轴交于点，与y轴交于点，求此二次函数的解析式及顶点坐标．
14．已知抛物线
（1）该抛物线的对称轴为直线_______；
（2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点，，在该抛物线上，若，求的取值范围．
参考答案
1．（1）；（2）在，理由见解析
【分析】
（1）设，由题意得，，整理可得；
（2）由当时，可得结论．
【详解】
解：（1）设，
由题意得，．
（2）在．
∵当时，
∴在此函数图象上．
【点睛】
考核知识点：求二次函数解析式．理解二次函数解析式的常见形式是关键．
2．A
【分析】
将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
【详解】
解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
3．C
【分析】
利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．
【详解】
解：设二次函数的解析式为，
依题意得：，解得：，
∴二次函数的解析式为=，
∵，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．
4．(0，a+2)．
【分析】
首先根据抛物线的顶点坐标利用顶点式求得解析式，然后令x=0求得y的值即可确定与y轴的交点坐标．
【详解】
解：∵抛物线的顶点为（1，2），
∴抛物线为，
令x=0得：y=a+2，
∴与y轴的交点坐标为（0，a+2），
故答案为：（0，a+2）．
【点睛】
考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的解析式．
5．（1）（1，﹣3）；（2）y＝x2﹣2x﹣2．
【分析】
（1）利用点A、B纵坐标相同求得顶点横坐标，利用最小值为﹣3求得顶点纵坐标，即可得到顶点坐标；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把A点和顶点坐标代入即可求出a的值，从而求得函数解析式．
【详解】
解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，
即y＝x2﹣2x﹣2．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图象上点的特征求出顶点坐标是解决本题的关键．
6．（1），；（2）
【分析】
（1）将点和，代入解析式求解即可；
（2）将，按题目要求平移即可．
【详解】
（1）将点和代入抛物线得：
解得：
∴，
（2）原函数的表达式为:，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点睛】
本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
7．D
【分析】
设函数解析式为，将点代入即可求得a的值，可得结果．
【详解】
解：设抛物线函数解析式为：，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
整理得：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．
8．
【解析】
【分析】
根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
【详解】
根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过( 1,0)，(0,4)，(2,0)，
所以，
解得a= 1，b=2，c=4，
故抛物线的函数关系式为y= 2x2+2x+4.
【点睛】
本题考查了二次函数，解题的关键是根据待定系数法求二次函数解析式.
9．A
【分析】
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
【详解】
解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．
【分析】
如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】
解：如图，
∴A、B关于y轴对称，
∵四边形AOBC是正方形，
∴，AB与OC相互平分，
令x=0时，则有，
∴点，
∴，
∴点，
把点A代入得：，解得：，
∵，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键．
11．（1）下，直线x＝1；（2）9
【分析】
（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为3，且x＝﹣1时，y＝0，可得出抛物线开口方向及对称轴；
（2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可．
【详解】
解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1；
故答案为：下，直线x＝1；
（2）把（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝﹣2时，m＝-（-2）2-2×2+3=﹣4﹣4+3＝﹣5；
当x＝1时，n＝-12+2×1+3=﹣1+2+3＝4；
∴|m﹣n|＝|﹣5﹣4|＝9．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
12．（1）解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2，对称轴为直线：x=1，顶点坐标为：（1，2）；（2）y1＜y2．
【分析】
（1）把A（1，2）代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；
（2）根据坐标的特征求出yB，根据平方的非负性求出yB的最大值，根据二次函数的性质比较y1与y2的大小即可．
【详解】
解：（1）把A（1，2）代入y=﹣（x﹣h）2+2，
得：﹣（1﹣h）2+2=2，
解得：h=1，
∴解析式为：y=﹣（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线：x=1，顶点坐标为：（1，2）；
（2）∵抛物线l与y轴的交点为B，
∴点B的横坐标为0，则yB=﹣h2+2，
∴当h=0时，yB有最大值为2，
此时，抛物线为：y=﹣x2+2，对称轴为y轴，
当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴x1＞x2≥0时，y1＜y2．
【点睛】
本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．
13．，
【分析】
利用待定系数法求得函数解析式，再利用配方法求出函数顶点坐标式即可求解．
【详解】
解：∵二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点，
由题意得：
解得：
∴二次函数的解析式为：
整理得：．
∴二次函数图象的顶点坐标为．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式和配方法求顶点坐标，解题的关键是熟练掌握准确求出抛物线解析式．
14．（1）；（2）或；（3）当时，或；当时，．
【分析】
（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．
（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（3）分类讨论当a＞0时和a＜0时二次函数的性质，即可求出n的取值范围．
【详解】
（1）∵抛物线
抛物线对称轴为．
故答案为：．
（2）抛物线顶点在轴上，对称轴为直线，顶点坐标为．
将顶点坐标代入二次函数解析式得：．
整理得：，
解得：或．
抛物线解析式为或．
（3）抛物线的对称轴为直线，
关于直线的对称点为．
根据二次函数的性质分类讨论．
（i）当时，抛物线开口向上，若，即点在点或的上方，则或；
（ii）当时，抛物线开口向下，若，即点在点或的上方，则．
【点睛】
本题为二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．