初中数学人教版八年级上册同步试题精编13.1.2 线段垂直平分线的性质（word版、含解析）

13.1.2线段垂直平分线的性质
知识点1 线段垂直平分线的性质
例1．如图，在中，的垂直平分线交于点，如果，，那么的周长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
变式2．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．若AC=8cm，△ABE的周长为15cm，则AB的长为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交BC边于点E.若∠B =15°，则∠CAE=______°．
知识点2 线段垂直平分线的判定
例4．下列说法错误的是（ ）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
变式5．如图，，，则下面说法正确的是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．平分
知识点3 作垂线
例6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
变式7．已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.
课堂练习
8．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＝100°，则∠DAE＝_____．
9．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．
11．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
12．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．
13．如图所示，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE．
（1）________°．
（2）________（填“>”、“<”或“=”）．
（3）若，，求的周长．
参考答案
1．C
【分析】
由线段垂直平分线的性质得到，据此结合三角形周长公式解题．
【详解】
的垂直平分线为，
，
，，
的周长是，
故选：．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．B
【分析】
由题意可知BE＝CE，因此AB＝15 EC AE＝7cm．
【详解】
解：∵DE垂直平分线BC，
∴BE＝CE，
∵AB＋BE＋AE＝15cm，
∴AB＋CE＋AE＝15cm，
∵AC＝8cm，即CE＋AE＝8，
∴AB＝7cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BE＝CE．
3．60°
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AE=BE，所以∠B=∠EAB，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠AEC的度数，进而得出∠EAC的度数．
【详解】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠EAB=∠B，
∵∠B=15°，
∴∠EAB=15°，
∴∠AEC=∠B+∠EAB=15°+15°=30°，
∴∠EAC=90°-30°=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．D
【分析】
根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】
解:、是线段的垂直平分线上的点，
，．故正确，不符合题意；
、若，
在的垂直平分线上．
同理在的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．故正确，不符合题意；
、若，则点在线段的垂直平分线上，故正确，不符合题意；
、若，则点在线段的垂直平分线上．但过点的直线有无数条，不能确定过点的直线是线段的垂直平分线．故错误，符合题意．
故选：．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．
5．A
【分析】
根据题意，由SSS判定，再结合全等三角形的性质解得，最后根据等腰三角形的性质解题即可．
【详解】
在与中，
又∵AC=AD
∴AB垂直平分CD（三线合一），
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、线段垂直平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．B
【分析】
根据题意可以知道MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=5，因此可以求出BC的长度．
【详解】
解：∵顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧
∴MN为AB的垂直平分线
∴AD=BD=5
∵BC=BD+CD
∴BC=AD+CD=5+3=8
故选B．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的画法以及垂直平分线的性质，能够准确的将线段进行转化是解决本题的关键．
7．见解析.
【分析】
作出线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线，其交点P即为所求．
【详解】
解：如图所示：线段MN的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点P即为所求：
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的运用，熟练掌握尺规作图的方法是解答此题的关键．
8．20°
【分析】
由垂直平分线的性质可知：，即得：，即，即求出．
【详解】
由垂直平分线的性质可知：，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理．由垂直平分线的性质得出是解答本题的关键．
9．D
【分析】
根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可正确解答．
【详解】
解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解答本题的关键．
10．（1）∠ECD=36°；（2）BC长是5．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A；
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，由外角和定理求出∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，继而得∠BEC=∠B，推出BC=CE即可．
【详解】
解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
12．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用HL定理可证得Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的性质可得结论；
（2）由（1）的结论，利用AAS定理，可得△ADO≌△BCO，利用全等三角形的性质可得AO=BO，据线段垂直平分线的判定可得到点O在AB的垂直平分线上，又点E是AB的中点，可得点E在AB的垂直平分线上，证得结论．
【详解】
证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵AC＝BD，AB＝BA，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴BC＝AD；
（2）∵∠D＝∠C＝90°，∠AOD＝∠BOC，BC＝AD，
∴△ADO≌△BCO，
∴AO=BO，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
13．（1）90；（2）=；（3）7
【分析】
（1）由作图知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）由作图知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ ．
故答案为：90．
（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
故答案为：=．
（3）在中，，，，
．
，
的周长为：
．
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解此题的关键．