2021-2022学年数学北师大版（2019）必修第一册1.2.2.1 必要条件与充分条件 同步练习（Word含答案解析）

§2　常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设集合M＝，N＝，则“a＝1”是“N M”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3. “＝”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．下列条件中，是“x2<4”的必要不充分条件的是(　　)
A．1C．05．若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设x∈R，则“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
9．在判断定理中，条件是结论的________条件．
10．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
11．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．
12．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
13．在下列四个结论中，正确的是________．(填上你认为正确的所有序号)
①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；
②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；
③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；
④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
三、解答题
14．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
15．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
16．(多选)给出四个条件：
①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.
其中能成为x>y的充分条件的有(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
17．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
　 A　　　　B　　　　C　　　 　D
18．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
19．下列不等式：①x<1；②0－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________．
20．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？
参考解析
1 A　[若x>0，则x≠0.
若x≠0，则x＞0或x＜0，
所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A.]
2 A　[当a＝1时，N＝{1} M，满足充分性；而当N＝{a2} M时，可得a＝1或a＝－1或a＝或a＝－，不满足必要性，故选A.]
3 B　[若x＝－y＝1，则＝.但x≠y
若x＝y，则＝，
所以＝是x＝y的必要不充分条件，故选B.]
4 D　[由x2<4，得－25 B　[由>1，得01”的必要不充分条件，故选B.]
6 B　[“17 B　[由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.]
8 D　[若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．]
9 [答案]　充分
10 {a|a<－1}　[若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a}{x|x<－1}，则a<－1，
即实数a的取值范围是{a|a<－1}．]
11 [答案]　充分不必要
12 a≤1　[由题意得， ，故a≤1.]
13 ①③　[对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①对；
对于②，当ab＝0时，＝＋，故②错；
对于④，当x＝－1时，x2＝1，故④错；
只有①③正确．]
14 [解]　由x2>1，得x>1或x<－1，
要使2x＋m<0是x2>1的充分条件，
只需 ，
即只需－≤－1，解得m≥2
所以，存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分条件．
15 [证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2＝1>0，
所以x1、x2同号；
又因为x1＋x2＝－m≤－2，
所以x1、x2同为负根．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－＝－≥0，
所以m≥2，
综合(1)，(2)知命题得证．
16 AD　[①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2 x>y；
②当t>0时，x>y，当t<0时，xytx>y；
③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2x>y；
④由0<< x>y.故选AD.]
17 BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.]
18 a<5　[由题意得，A是B的真子集，故a<5.]
19 ②③　①⑤　[由x2<1，得－1－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．]
20 [证明]　∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，
则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.
设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，
则，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.
∴|a|≥>.
∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；
但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．
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