2021-2022学年数学北师大版（2019）必修第一册1.4.1 一元二次函数 同步练习（Word含答案解析）

§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
一、选择题
1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1(　　)
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．二次函数y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为(　　)
A． B．－
C．± D．±2
3．函数y＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　)
A．(2,4)，x＝2 B．(1,5)，x＝1
C．(5,1)，x＝1 D．(1,5)，x＝5
4．设abc＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是　(　　)
　　　　 A　　　　B　 　　C　　　D
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 B．45.56万元
C．45.6万元 D．45.51万元
6．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数．(　　)
(2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交．(　　)
(3)二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．(　　)
(4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象．(　　)
7．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　　)
A．(－1,4) B．(－1，－4)
C．(1，－4) D．(1,4)
8．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是
(　　)
　A　　　 B　　 　　C　　　D
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的(　　)
　　 　 A　　 　B　　　　C　 　　D
10．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[0,2]
C．[－2,0] D．[－1,0]
二、填空题
11．如果一元二次函数y＝x2－(a－1)x＋5在区间上y随x的增大而增大，则实数a的取值范围为________．
12．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．
13．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________．
14．已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2,0)，B(1,0)，且过点C(2,4)，则该二次函数的表达式为_______．
15．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是________．
16．二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点之间的距离为________．
17．若y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.
三、解答题
18．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
19．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求a，b与c.
20．是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1,1]上的取值范围为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
参考解析
1 D　[要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位．]
2 C　[由题意＝－1，∴a2＝2，∴a＝±.]
3 B　[y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，
∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,5)，对称轴方程为x＝1.]
4 D　[由ACD知，c＜0，
∵abc＞0，∴ab＜0，
∴对称轴x＝－＞0，知A、C错；D符合要求，由B知c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．]
5 C　[设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．]
6 　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
7 　D
8 D　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.]
9 [答案]　D
10 D　[y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.]
11 (－∞，2]　[∵函数y＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上y随x的增大而增大，
∴≤，即a≤2.]
12 2或－1　[y＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a>1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a<0时，ymax＝1－a.根据已知条件：或或解得a＝2或a＝－1.]
13 2　[因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.]
14 　y＝x2＋x－2
15 10　[y＝－x2＋4x＋6＝－2＋10
当x＝2时，y取得最大值10.]
16 4　[设二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点的坐标分别为，，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－1，
所以＝＝＝4.]
17 6　[由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，
又1－a＝b－1得b＝6.]
18 [解]　法一：将A(－3,0)，代入函数y＝ax2＋bx＋c中，
有9a－3b＋c＝0，①
由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②
顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③
联立①②③解得或
所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
法二：因为二次函数图象的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图象过点A(－3,0)，
所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
法三：因为二次函数图象的对称轴为x＝－1，
又图象过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图象上，
所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．
由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
分别代入上式，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.
19 [解]　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1,0)平移至(3，－3)处．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，所以a＝1，b＝－6，c＝6.
20 [解]　存在，理由如下，y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2.
当a<－1时，函数在[－1,1]上y随x的增大而增大，
∴解得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，
解得a＝－1；
当0a不存在；
当a>1时，函数在[－1,1]上y随x的增大而减小，
∴a不存在；
综上可知存在实数a，且a＝－1满足题意．
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