2021-2022学年数学北师大版（2019）必修第一册1.4.3 一元二次不等式的应用 同步练习（Word含答案解析）

§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.3　一元二次不等式的应用
一、选择题
1．不等式≥1的解集是(　　)
A． B．
C． D．
2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－13．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
4．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15}
C．{t|105．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|15≤x<20} D．{x|10≤x<20}
6．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}
7．不等式≥1的解集是(　　)
A．{x|x<－1或－1C．{x|x≤2} D．{x|－18．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　)
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
9．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,4) B．[0,4)
C．(0,4] D．[0,4]
10．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
二、填空题
11．设函数y＝2x2＋bx＋c，若不等式y＜0的解集是1＜x＜5，则y＝________；若对于任意1≤x≤3，不等式y≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
12．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
13．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
14．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
15．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(016．若不等式＋m<0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为________．
17．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为________米时，可使总造价最低．
三、解答题
18．解不等式：(1)<0；(2)≤1.
19．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．
20．学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．
参考解析
1 B　[不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为或解得≤x<2，则原不等式的解集为，故选B.]
2 C　[∵x＝1为ax－b＝0的根，
∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，
∴a>0，
故＝>0，
等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.]
3 A　[由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4，故选A.]
4 B　[由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15.]
5 C　[设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，
∴10又∵x≥15，
∴15≤x<20.故选C.]
6 D　[由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.故选D.]
7 D　[∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－18 C　[设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．]
9 D　[当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．
当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．
当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，
需解得0综上，a∈[0,4]．]
10 B　[由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，
∴x2＋x－2<0，解得－211 2x2－12x＋10　t≥－10　[由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以y＝2x2－12x＋10.
不等式y≤2＋t在1≤x≤3时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在1≤x≤3时有解，只要t大于等于2x2－12x＋8的最小值即可，不妨设g＝2x2－12x＋8,1≤x≤3，则当x＝3时，g有最小值－10，所以t≥－10.]
12 －＜a≤1　[ ①当a2－1≠0，即a≠±1时，
解之得－②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R.]
13 {x|x>－a或x(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a或x14 {t|3≤t≤5}　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
15 150　[生产者不亏本时有
y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
故生产者不亏本时的最低产量是150台．]
16 －3　[原不等式可化为<0 [(m＋1)x＋m2－1](x＋m)<0，
由已知可得m＋1<0，且3和4是方程[(m＋1)x＋m2－1](x＋m)＝0的根，
∴1－m＝4，－m＝3，
∴m＝－3.]
17 15　[设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．]
18[解]　 (1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，
∴－1≤0.
∴≤0.
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0，且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
19[解]　设增加成本后的日利润为y元．
y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1)．
要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1 000，且0＜x＜1，
即
解得0＜x＜.所以，为保证日利润有所增加，x的取值范围是.
20[解]　设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是(40－2x)米，(30－2x)米，
则
解得
∴0＜x≤5.这就是花卉带宽度的取值范围．
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