3.1.1椭圆及其标准方程(第二课时)
一、单选题
1.已知椭圆上任意一点都满足关系式,则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
2.椭圆的焦距为8,且,则该椭圆的标准方程是( )
A. B.或
C. D.或
3.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且过点(4,0)的椭圆的方程是( )
A. B.+=1
C. D.
4.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
5.已知点,且是椭圆的左焦点,是椭圆上任意一点,则的最小值是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.已知,是圆上一动点,线段的垂直平分线交于点,则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知椭圆的焦点,,P是椭圆上的一点,且是与的等差中项,则该椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9.设定点,,动点满足,则点的轨迹可能是( )
A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线
10.若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是( )
A. B. C. D.
11.已知F为椭圆的左焦点,A,B为E的两个顶点.若,则E的方程为( )
A. B. C. D.
12.已知是椭圆上一点,椭圆的左 右焦点分别为,且,则( )
A.的周长为 B.
C.点到轴的距离为 D.
三、填空题
13.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=2的椭圆方程是________.
14.设点是椭圆上的点,,是该椭圆的两个焦点,若的面积为,则_______.
15.已知点,,顶点在椭圆上,则______.
16.已知椭圆的焦点在坐标轴上,且经过和两点,则椭圆的标准方程为_______.
四、解答题
17.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1),,焦点在y轴上;
(2)与椭圆有相同的焦点,且经过点
(3)经过两点
18.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
(3)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点和
19.如图所示,已知椭圆的两焦点分别为,,为椭圆上一点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点在第二象限,,求的面积.
20.设椭圆C:的焦点为、,且该椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上的点满足,求的值.
21.已知椭圆:满足,且经过点,,是椭圆的左 右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)点在椭圆上,且,求的值.
参考答案
1.B
【解析】由题设可知椭圆的焦点在轴上,其坐标分别为,,,故,,,所以椭圆的标准方程为.故选:B
2.B
【解析】根据题意,,,即,,则.
若椭圆的焦点在轴上,则其标准方程为;
若椭圆的焦点在轴上,则其标准方程为.
故椭圆的标准方程为或.故选:B.
3.D
【解析】由+=1可知,
所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=5,故A,C不正确;
再将点(4,0)分别代入B,D检验可知,只有D选项符合题意.
4.C
【解析】由椭圆+y2=1知,该椭圆的长半轴,
A是椭圆的一个焦点,设另一焦点为,而点在BC边上,点B,C又在椭圆上,
由椭圆定义得,
所以的周长,故选:C
5.D
【解析】,设椭圆的右焦点为,
,
当在的正上方时,等号成立.故选:D
6.A
【解析】由题意,可知圆的标准方程为,圆心为,半径为6.
∵线段的垂直平分线交于点,∴,
∴,
∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆,∴,,,
∴其轨迹方程为.故选:A.
7.B
【解析】方程表示椭圆,则有,解得或,
于是得方程表示椭圆的m取值集合为,
显然,,
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B
8.C
【解析】设椭圆的标准方程为.
是椭圆上一点且是与的等差中项,
,解得..
椭圆的标准方程为.故选:C.
9.BC
【解析】由题意知,定点,,可得,
因为,可得,
当且仅当,即时等号成立.
当时,可得的,此时点的轨迹是线段;
当时,可得,此时点的轨迹是椭圆.故选:BC.
10.BC
【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和,则,即.
因为,则,所以.
对A,a=4,c=1,不满足;
对B,a=3,c=1,满足;
对C,a=5,c=2,满足;
对D,a=6,,不满足.
故选:BC.
11.ACD
【解析】∵,
∴仅有4种情况符合条件,即A为右顶点时,B为左顶点或上、下顶点;A为上顶点时,B为左顶点;
∴①当A为右顶点时,B为左顶点,此时,
解得,椭圆方程为,故D正确;
②当A为右顶点时,B为上或下顶点,此时,解得,椭圆方程为,故A正确;
③A为上顶点时,B为左顶点时,此时,解得,椭圆方程为,故C正确;
故选:ACD
12.BCD
【解析】A.因为,
所以,故错误;
B.因为,,
所以,
所以,所以,故正确;
C.设点到轴的距离为,
所以,所以,故正确;
D.因为,故正确;
故选:BCD.
13.椭圆的标准方程为.
【解析】椭圆,即,
,且焦点在y轴上,
椭圆的焦点与椭圆有相同焦点,
椭圆的半焦距,又 b=2,,
椭圆的标准方程为.
14.
【解析】在椭圆中,长半轴,半焦距,由椭圆定义得,
在中,由余弦定理得:,
即:,则,
又的面积为,则,即,
于是得,两边平方得,解得,则,
所以.
15.
【解析】由椭圆知长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,
则顶点,为椭圆的两个焦点.
在中,设的内角,,所对的边分别为,,,
则,,
由正弦定理可得.
16.
【解析】设所求椭圆方程为:(,,)将和的坐标代入方程得:,解得,所求椭圆的标准方程为:.
17.【解析】(1)由,,得,
∵焦点在y轴上,∴其标准方程为.
(2)椭圆的焦点坐标为,∵椭圆过点,
∴,∴,
∴椭圆的标准方程为.
(3)设所求的椭圆方程为.
把两点代入,得:,解得,
∴椭圆方程为.
18.【解析】(1)由焦距是4,可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).
由椭圆的定义知,,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又因为c∶a=5∶13,
所以c=5,b2=a2-c2=132-52=144,
所以椭圆的标准方程为或.
(3)设椭圆的方程为.
将A,B两点坐标代入方程,得,解得,
故所求椭圆的方程为.
19.【解析】(1)设椭圆的标准方程为,焦距为,
则由已知得,,
所以,所以,所以,
所以椭圆的标准方程为.
(2)在中,.
由余弦定理,得,
即,所以,
所以.
20.【解析】(1)由题意得,,解得,,
所以椭圆C的标准方程为 ,
(2)点满足,则有,且
,,
即①,
而点在椭圆上,则②,
取立①②消去,得,
所以.
21.【解析】(1)依题意有,,解得,.
则椭圆的方程为.
(2)由椭圆的定义可得,又,
解得,,又,
在△中,由余弦定理可得,
所以.