2021-2022学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 学案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 209.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-14 20:05:49 | ||
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文档简介
3.1.1 椭圆及其标准方程
解读目标：
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
解读知识点：
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
解读题型：
题型1 求椭圆的标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
巩固训练：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
题型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
巩固训练：
2．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
题型3 椭圆中的焦点三角形问题
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4
C．5∶3 D．4∶3
(2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
巩固训练：
3．(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，则∠F1PF2________.
题型4 与椭圆有关的轨迹问题
【例4】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
巩固训练：
4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
当堂达标
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
解读目标：
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
解读知识点：
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
解读题型：
题型1 求椭圆的标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
[解] (1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2)))＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2)))＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆经过点，所以＋＝1，
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝10，b2＝6.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),b2)＝1，))解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),a2)＋0＝1，))解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
巩固训练：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解] (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
题型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
(1)依题意有
解得－9即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)，故选B．
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1，
依题意有解得m<－，
即实数m的取值范围是.
巩固训练：
2．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
方程化为＋＝1，
依题意应有12－a>a2>0，解得－4题型3 椭圆中的焦点三角形问题
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4
C．5∶3 D．4∶3
(2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，
从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3.
(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.
巩固训练：
3．(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，则∠F1PF2________.
(1)由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
(2)由已知得a＝2，b＝，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则
①2－②得mn(1＋cos α)＝6，④
得＝，
即＝2，
∴tan ＝，
∴＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
题型4 与椭圆有关的轨迹问题
【例4】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
(2)设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
所以其轨迹方程为＋＝1.
巩固训练：
4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
[解] 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
因为|AB|＝2，|AC|＝，
所以|BC|＝＝，
则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.
当堂达标
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
由|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝6知动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
椭圆方程可化为x2＋＝1，
由题意知解得k＝2.
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，
所以b2＝a2－c2＝36，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
由题意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.]
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解读目标：
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
解读知识点：
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
解读题型：
题型1 求椭圆的标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
巩固训练：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
题型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
巩固训练：
2．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
题型3 椭圆中的焦点三角形问题
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4
C．5∶3 D．4∶3
(2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
巩固训练：
3．(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，则∠F1PF2________.
题型4 与椭圆有关的轨迹问题
【例4】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
巩固训练：
4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
当堂达标
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
解读目标：
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
解读知识点：
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
解读题型：
题型1 求椭圆的标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
[解] (1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
法一：由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2)))＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2)))＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆经过点，所以＋＝1，
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝10，b2＝6.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),b2)＝1，))解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),a2)＋0＝1，))解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
巩固训练：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解] (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
题型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25)
C．(8,25) D．(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
(1)依题意有
解得－9
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1，
依题意有解得m<－，
即实数m的取值范围是.
巩固训练：
2．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
方程化为＋＝1，
依题意应有12－a>a2>0，解得－4
【例3】 (1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4
C．5∶3 D．4∶3
(2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，
从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3.
(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.
巩固训练：
3．(1)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
(2)椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，则∠F1PF2________.
(1)由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
(2)由已知得a＝2，b＝，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则
①2－②得mn(1＋cos α)＝6，④
得＝，
即＝2，
∴tan ＝，
∴＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
题型4 与椭圆有关的轨迹问题
【例4】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．
(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
(2)设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
所以其轨迹方程为＋＝1.
巩固训练：
4．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
[解] 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
因为|AB|＝2，|AC|＝，
所以|BC|＝＝，
则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.
当堂达标
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
由|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝6知动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
椭圆方程可化为x2＋＝1，
由题意知解得k＝2.
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，
所以b2＝a2－c2＝36，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
由题意知
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.]
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