2021春北师版九下数学2.4.1二次函数的应用导学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2021春北师版九下数学2.4.1二次函数的应用导学案（有答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 291.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-15 07:10:56 | ||
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文档简介
2021春北师版九下数学2.4.1二次函数的应用导学案
利用二次函数解决图形问题
学习目标
1、学会用二次函数解决几何图形问题。
2、在运用知识解决问题时体会二次函数的应用意义及数学的转化思想。
学习策略
结合所学过的二次函数的知识，理解最值的意义；
能根据实践问题解设二次函数解决几何图形问题.
学习过程
复习回顾：
1、下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y= B．y= C．y=a2x2 D．y=
2、（1）二次函数的定义：一般地，形如 (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
（2）用 画出二次函数的图象，可以从图象上认识二次函数的性质，确定二次函数的 、开口方向和 。
二.新课学习：
1.自学教材P46-47，回答以下问题
在图2-8中，四边形ABCD是矩形；通过证明△EDC △EAF，而得到AD；矩形铁皮的面积公式： 。
勾股定理公式： ；例1中窗户的面积公式： 。
2、自学课本P46-47思考下列问题：
（1）你能指出例1中的变量跟常量吗？
（2）解决“面积最大”此类问题的基本思路是什么？
三.尝试应用：
1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2．
3、如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10米）：如果AB的长为，面积为.
（1）求面积与的函数关系（写出的取值范围）；
（2）取何值时，面积最大？面积最大是多少？
自主总结：解决“面积最大”问题的基本思路：
第一步：审题理解问题；
第二步：分析问题中的 和常量， 自变量；
第三步：分析问题中的变量和常量之间的关系，建立函数的 ；
第四步：确定 的取值范围；
第五步：根据顶点坐标公式或配方法求出最 值或最 值（在自变量的取值范围内）。
五.达标测试
一、选择题
1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）.
A．60 B．63 C．64 D．66
2．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
A．m B．6m C．25m D．m
二、填空题
4.已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式 ；自变量的取值范围 ．
5．若直角三角形的两条直角边的和等于12，两条直角边分别为____，使此直角三角形的面积最大
6．如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为 m2．
三、解答题
7． 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．
8．如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的小正方形的边长为xcm．
（1）请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；
（2）当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130cm2？
（3）试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=5，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．
（1）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，△PCQ的面积等于4？
（2）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，PQ的长度等于5？
（3）△PCQ的面积何时最大，最大面积是多少？
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为y，根据题意得：y=（16﹣x）x=+16x=+64，利用二次函数性质可得，当x=8m时，=64，则所围成矩形ABCD的最大面积是64．
故选：C．
考点：二次函数的应用．
2．【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，
∴DE=6﹣2x，
∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，
=﹣6（x﹣）2+，
∴当x=时，纸盒侧面积最大为．
故选C．
考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．
3．【解析】根据题意得：AD=BC=，上边三角形的面积为：（5﹣x），右侧三角形的面积为：x（12﹣），
所以y=30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y=﹣x2+12x，
=﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
=﹣（x﹣）2+15，
∵﹣＜0
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故要使长方形的面积最大，其边长m．
故选：D．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
二、填空题
4．【解析】由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．
这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．
∵0＜24-3x≤10得≤x＜8，
故答案为：S=-3x2+24x．≤x＜8
考点：根据实际问题列二次函数关系式．
5.【解析】设一条直角边为x，三角形的面积为S，则，所以当x=6时，S最大=18，此时12-x=6，所以当两条直角边都是6时，此直角三角形的面积最大.
考点：二次函数的应用.
6．【解析】∵AB为x米，则AD==4﹣x，
S长方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
当x=2时，S取得最大值=4；
∴长方形框架ABCD的面积S最大为4m2．
故答案为：4．
考点：二次函数的应用．
三、解答题
7．【解析】试题分析：（1）BC=x，则AB=，然后根据面积=长×宽列出函数解析式，BC的长度不等大于墙的长度；（2）首先将函数解析式配成顶点式，然后进行求最值．
试题解析：（1）由题意得：
自变量x的取值范围是0＜x≤25
（2） ∵20＜25，∴当x=20时，y有最大值200平方米
即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大．
考点：二次函数的应用．
8．【解析】试题分析：（1）由图可知：长方体盒子的底面的长和宽分别是原矩形的长和宽减去两个小正方形的边长，根据矩形的面积=长×宽；
（2）得出一个关于正方形边长x的方程．从而求解；
（2）长方体盒子的侧面积是四个小矩形，都是以正方形的边长为宽，以盒子的底面的长或宽为长，根据这个关系，我们可列出关于侧面积和正方形边长x的函数关系式，然后根据函数的性质来求出这个最值．
试题解析：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；
（2）依题意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，
解得x1=1，（不合题意，舍去），
∴当剪去的小正方形的边长为1cm时，其底面积是130cm2；
（3）设长方体盒子的侧面积是S，则S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，
S=﹣8（x﹣）2+，（0＜x＜6），当x=时，，
即当剪去的小正方形的边长为cm时，长方体盒子的侧面积有最大值．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．
9．【解析】试题分析：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，∵﹣＜0，∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，由得Q的坐标为（2，3），∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PM=EM=2，∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，由得或，∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．
考点：二次函数综合题．
10.【解析】试题分析：（1）分别表示出线段CP和线段CQ的长，利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（2）表示出线段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）列出△PCQ的面积关于t的函数解析式，配方可得最大值．
试题解析：（1）设t秒后△PCQ的面积等于4，根据题意得：CQ=t，BP=2t，则CP=7-2t，
CQ×CP=×t（7-2t）=4，
整理，得：t1=，t2=，
故若P、Q同时分别从B、C出发，那么、秒后，△PCQ的面积等于4；
（2）若PQ的长度等于5，则PC2+QC2=PQ2，
即：（7-2t）2+t2=25，
整理，得：5t2-28t+24=0，
解得：t1=，t2=，
∵CP=7-2t≥0，即t≤3.5，
∴t=＞3.5，舍去，
故那么秒后，PQ的长度等于5；
（3）由（1）知△PCQ的面积S=×t（7-2t）=-（t-）2+，
当t=时，S取得最大值，最大值为，
故当t=时△PCQ的面积最大，最大面积为．
考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用．
利用二次函数解决图形问题
学习目标
1、学会用二次函数解决几何图形问题。
2、在运用知识解决问题时体会二次函数的应用意义及数学的转化思想。
学习策略
结合所学过的二次函数的知识，理解最值的意义；
能根据实践问题解设二次函数解决几何图形问题.
学习过程
复习回顾：
1、下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y= B．y= C．y=a2x2 D．y=
2、（1）二次函数的定义：一般地，形如 (a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
（2）用 画出二次函数的图象，可以从图象上认识二次函数的性质，确定二次函数的 、开口方向和 。
二.新课学习：
1.自学教材P46-47，回答以下问题
在图2-8中，四边形ABCD是矩形；通过证明△EDC △EAF，而得到AD；矩形铁皮的面积公式： 。
勾股定理公式： ；例1中窗户的面积公式： 。
2、自学课本P46-47思考下列问题：
（1）你能指出例1中的变量跟常量吗？
（2）解决“面积最大”此类问题的基本思路是什么？
三.尝试应用：
1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2．
3、如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10米）：如果AB的长为，面积为.
（1）求面积与的函数关系（写出的取值范围）；
（2）取何值时，面积最大？面积最大是多少？
自主总结：解决“面积最大”问题的基本思路：
第一步：审题理解问题；
第二步：分析问题中的 和常量， 自变量；
第三步：分析问题中的变量和常量之间的关系，建立函数的 ；
第四步：确定 的取值范围；
第五步：根据顶点坐标公式或配方法求出最 值或最 值（在自变量的取值范围内）。
五.达标测试
一、选择题
1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）.
A．60 B．63 C．64 D．66
2．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
A．m B．6m C．25m D．m
二、填空题
4.已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式 ；自变量的取值范围 ．
5．若直角三角形的两条直角边的和等于12，两条直角边分别为____，使此直角三角形的面积最大
6．如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为 m2．
三、解答题
7． 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．
8．如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的小正方形的边长为xcm．
（1）请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；
（2）当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130cm2？
（3）试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=5，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．
（1）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，△PCQ的面积等于4？
（2）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，PQ的长度等于5？
（3）△PCQ的面积何时最大，最大面积是多少？
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为y，根据题意得：y=（16﹣x）x=+16x=+64，利用二次函数性质可得，当x=8m时，=64，则所围成矩形ABCD的最大面积是64．
故选：C．
考点：二次函数的应用．
2．【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，
∴DE=6﹣2x，
∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，
=﹣6（x﹣）2+，
∴当x=时，纸盒侧面积最大为．
故选C．
考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．
3．【解析】根据题意得：AD=BC=，上边三角形的面积为：（5﹣x），右侧三角形的面积为：x（12﹣），
所以y=30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y=﹣x2+12x，
=﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
=﹣（x﹣）2+15，
∵﹣＜0
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故要使长方形的面积最大，其边长m．
故选：D．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
二、填空题
4．【解析】由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．
这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．
∵0＜24-3x≤10得≤x＜8，
故答案为：S=-3x2+24x．≤x＜8
考点：根据实际问题列二次函数关系式．
5.【解析】设一条直角边为x，三角形的面积为S，则，所以当x=6时，S最大=18，此时12-x=6，所以当两条直角边都是6时，此直角三角形的面积最大.
考点：二次函数的应用.
6．【解析】∵AB为x米，则AD==4﹣x，
S长方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
当x=2时，S取得最大值=4；
∴长方形框架ABCD的面积S最大为4m2．
故答案为：4．
考点：二次函数的应用．
三、解答题
7．【解析】试题分析：（1）BC=x，则AB=，然后根据面积=长×宽列出函数解析式，BC的长度不等大于墙的长度；（2）首先将函数解析式配成顶点式，然后进行求最值．
试题解析：（1）由题意得：
自变量x的取值范围是0＜x≤25
（2） ∵20＜25，∴当x=20时，y有最大值200平方米
即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大．
考点：二次函数的应用．
8．【解析】试题分析：（1）由图可知：长方体盒子的底面的长和宽分别是原矩形的长和宽减去两个小正方形的边长，根据矩形的面积=长×宽；
（2）得出一个关于正方形边长x的方程．从而求解；
（2）长方体盒子的侧面积是四个小矩形，都是以正方形的边长为宽，以盒子的底面的长或宽为长，根据这个关系，我们可列出关于侧面积和正方形边长x的函数关系式，然后根据函数的性质来求出这个最值．
试题解析：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；
（2）依题意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，
解得x1=1，（不合题意，舍去），
∴当剪去的小正方形的边长为1cm时，其底面积是130cm2；
（3）设长方体盒子的侧面积是S，则S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，
S=﹣8（x﹣）2+，（0＜x＜6），当x=时，，
即当剪去的小正方形的边长为cm时，长方体盒子的侧面积有最大值．
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．
9．【解析】试题分析：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，∵﹣＜0，∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，由得Q的坐标为（2，3），∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PM=EM=2，∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，由得或，∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．
考点：二次函数综合题．
10.【解析】试题分析：（1）分别表示出线段CP和线段CQ的长，利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（2）表示出线段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）列出△PCQ的面积关于t的函数解析式，配方可得最大值．
试题解析：（1）设t秒后△PCQ的面积等于4，根据题意得：CQ=t，BP=2t，则CP=7-2t，
CQ×CP=×t（7-2t）=4，
整理，得：t1=，t2=，
故若P、Q同时分别从B、C出发，那么、秒后，△PCQ的面积等于4；
（2）若PQ的长度等于5，则PC2+QC2=PQ2，
即：（7-2t）2+t2=25，
整理，得：5t2-28t+24=0，
解得：t1=，t2=，
∵CP=7-2t≥0，即t≤3.5，
∴t=＞3.5，舍去，
故那么秒后，PQ的长度等于5；
（3）由（1）知△PCQ的面积S=×t（7-2t）=-（t-）2+，
当t=时，S取得最大值，最大值为，
故当t=时△PCQ的面积最大，最大面积为．
考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用．