2021春北师版九下数学3.2圆的对称性导学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2021春北师版九下数学3.2圆的对称性导学案（有答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 179.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-15 07:17:42 | ||
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文档简介
2021春北师版九下数学3.2圆的对称性导学案
学习目标
1. 圆的旋转不变性.
2. 圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
学习策略
1. 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.
2. 通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，提高学习数学的兴趣．
学习过程
一.复习回顾：
1．圆的两要素是_______、________，它们分别决定圆的________、__________.
2．下列3种图形：①等边三角形；②平行四边形；③矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(填序号)：________________.
二.新课学习：
1.自读教材P70—72的内容思考如下问题：
（1）请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？
（2）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？
（3）圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？
2.精读70页“做一做”，合作探究根据：圆的旋转不变性能够得到什么
第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′（图1），
第二步：将两圆重叠，并固定圆心（图2），然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合（图3）．
（1）通过操作，对比图1和图3，你能发现哪些等量关系？
（2）你得到这些等量关系的理由是什么？
（3）由此你能得到什么结论？
3. 思考上述命题的逆命题是否成立，发散思维拓展新定理．
（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所的对的弦相等吗？你是怎么想的？
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
（3）如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？
（4）一条弦所对的弧有几条？
（5）上面的命题怎样叙述能够更准确？
（6）观察以上所得出的结论，你能将其总结为一条定理吗？
4.精读71页例题思考如下问题：
（1）∠AOD和∠BOE的度数有什么数量关系？
（2）根据角的数量关系可以得到哪两条弧相等？
（3）根据已知条件如何转化弧的等量关系？
（4）根据弧之间的关系你能得到正确的结论吗？
（5）试着合作完成证明过程.
三.尝试应用：
1. 如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
2. 如图，⊙O中，AB=CD，∠1=500，则∠2=_______.
3. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
四.自主总结：
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的 .
2.圆是中心对称图形，对称中心是 .
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等.
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦中有 相等，那么它们所对应的
各足量都分别相等.
五.达标测试
一、选择题
1. 在⊙O中，AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB、CD所对的弧一定相等
B．AB、CD所对的圆心角一定相等
C．△AOB和△COD能完全重合
D．点O到AB、CD的距离一定相等
2. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．61° D．58°
3. 在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定
二、填空题
4. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
5. 如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为 ．
6. 在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是 度．
三、解答题
7．如图，在⊙0中，
求证：AB=CD．
8. 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，求∠AOC的度数．
9．已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC=BD．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．
（1）求证：AC∥OD．
（2）若∠AOD=110°，求的度数．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据一条弦对两条弧可对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据三角形全等可对C、D进行判断．
【解答】解：A、AB、CD所对的弧对应相等，所以A选项的说法错误；
B、AB、CD所对的圆心角一定相等，所以B选项的说法正确；
C、△AOB和△COD全等，所以C选项的说法正确；
D、点O到AB、CD的距离一定相等，所以D选项的说法正确．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
2．【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．
【解答】解：∵=，
∴∠∠AOB=∠AOC=122°．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 【解析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．
【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，
在△CDE中，
∵CD=DE，
∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，
∴CE＜AB，
∴＜．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
二、填空题
4．【解析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
【解答】解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．
5．【解析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠C=35°，再根据平行线的性质∠AOC=∠C=35°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，
∵CD∥AB，
∴∠AOC=∠C=35°，
∴的度数为35°．
故答案为35°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．【解析】AB=，OA=OB=1，则AB2=OA2+OB2，根据勾股定理的逆定理得到△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°．
【解答】解：如图，在⊙O中，AB=，OA=OB=1，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，
即长度等于的弦所对的圆心角是90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了勾股定理的逆定理．
三、解答题
7．【解析】有，都加上AC弧即可得到=，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
【解答】证明：∵，
∴+=+，
即=，
∴CD=AB．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
8．【解析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．
【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．
9．【解析】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC=BD．
【解答】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO=BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO=∠DNO=90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC=OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，此定理应用非常广泛，为证明线段相等和角的相等提供了依据．
10．【解析】（1）如图，连接AD．由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，则易证得结论；
（2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得∠COD=∠DOB=70°，则∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°．
【解答】（1）证明：如图，连接AD．
∵=，
∴=2
∴∠CAB=2∠DAB．
又∵∠DOB=2∠DAB，
∴∠CAB=∠DOB，
∴AC∥OD；
（2）解：如图，连接OC．
∵∠AOD=110°，
∴∠DOB=70°．
又∵=，
∴∠COD=∠DOB=70°，
∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，
∴=40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
学习目标
1. 圆的旋转不变性.
2. 圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
学习策略
1. 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.
2. 通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，提高学习数学的兴趣．
学习过程
一.复习回顾：
1．圆的两要素是_______、________，它们分别决定圆的________、__________.
2．下列3种图形：①等边三角形；②平行四边形；③矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(填序号)：________________.
二.新课学习：
1.自读教材P70—72的内容思考如下问题：
（1）请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？
（2）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？
（3）圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？
2.精读70页“做一做”，合作探究根据：圆的旋转不变性能够得到什么
第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′（图1），
第二步：将两圆重叠，并固定圆心（图2），然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合（图3）．
（1）通过操作，对比图1和图3，你能发现哪些等量关系？
（2）你得到这些等量关系的理由是什么？
（3）由此你能得到什么结论？
3. 思考上述命题的逆命题是否成立，发散思维拓展新定理．
（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所的对的弦相等吗？你是怎么想的？
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
（3）如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？
（4）一条弦所对的弧有几条？
（5）上面的命题怎样叙述能够更准确？
（6）观察以上所得出的结论，你能将其总结为一条定理吗？
4.精读71页例题思考如下问题：
（1）∠AOD和∠BOE的度数有什么数量关系？
（2）根据角的数量关系可以得到哪两条弧相等？
（3）根据已知条件如何转化弧的等量关系？
（4）根据弧之间的关系你能得到正确的结论吗？
（5）试着合作完成证明过程.
三.尝试应用：
1. 如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
2. 如图，⊙O中，AB=CD，∠1=500，则∠2=_______.
3. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
四.自主总结：
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的 .
2.圆是中心对称图形，对称中心是 .
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等.
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦中有 相等，那么它们所对应的
各足量都分别相等.
五.达标测试
一、选择题
1. 在⊙O中，AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB、CD所对的弧一定相等
B．AB、CD所对的圆心角一定相等
C．△AOB和△COD能完全重合
D．点O到AB、CD的距离一定相等
2. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．61° D．58°
3. 在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定
二、填空题
4. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
5. 如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为 ．
6. 在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是 度．
三、解答题
7．如图，在⊙0中，
求证：AB=CD．
8. 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，求∠AOC的度数．
9．已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC=BD．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．
（1）求证：AC∥OD．
（2）若∠AOD=110°，求的度数．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据一条弦对两条弧可对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据三角形全等可对C、D进行判断．
【解答】解：A、AB、CD所对的弧对应相等，所以A选项的说法错误；
B、AB、CD所对的圆心角一定相等，所以B选项的说法正确；
C、△AOB和△COD全等，所以C选项的说法正确；
D、点O到AB、CD的距离一定相等，所以D选项的说法正确．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
2．【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．
【解答】解：∵=，
∴∠∠AOB=∠AOC=122°．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 【解析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．
【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，
在△CDE中，
∵CD=DE，
∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，
∴CE＜AB，
∴＜．
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
二、填空题
4．【解析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
【解答】解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．
5．【解析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠C=35°，再根据平行线的性质∠AOC=∠C=35°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，
∵CD∥AB，
∴∠AOC=∠C=35°，
∴的度数为35°．
故答案为35°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．【解析】AB=，OA=OB=1，则AB2=OA2+OB2，根据勾股定理的逆定理得到△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°．
【解答】解：如图，在⊙O中，AB=，OA=OB=1，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，
即长度等于的弦所对的圆心角是90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了勾股定理的逆定理．
三、解答题
7．【解析】有，都加上AC弧即可得到=，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
【解答】证明：∵，
∴+=+，
即=，
∴CD=AB．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
8．【解析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．
【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．
9．【解析】连接OC、OD，根据已知条件，易证△OCM≌△ODN，根据全等三角形的性质可知，∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，AC=BD．
【解答】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO=BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO=∠DNO=90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC=OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，此定理应用非常广泛，为证明线段相等和角的相等提供了依据．
10．【解析】（1）如图，连接AD．由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，则易证得结论；
（2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得∠COD=∠DOB=70°，则∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°．
【解答】（1）证明：如图，连接AD．
∵=，
∴=2
∴∠CAB=2∠DAB．
又∵∠DOB=2∠DAB，
∴∠CAB=∠DOB，
∴AC∥OD；
（2）解：如图，连接OC．
∵∠AOD=110°，
∴∠DOB=70°．
又∵=，
∴∠COD=∠DOB=70°，
∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，
∴=40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．