2021春北师版九下数学3.6.1直线和圆的位置关系导学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2021春北师版九下数学3.6.1直线和圆的位置关系导学案（有答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 319.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-15 07:34:35 | ||
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文档简介
2021春北师版九下数学3.6.1直线和圆的位置系导学案）
学习目标
1.经历探索直线和圆位置关系的过程．
2.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
3.了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
学习策略
1.本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系，
2.渗透了数形结合、分类、类比、化归等数学思想，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性．
3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验
学习过程
一.复习回顾：
1.点与圆的位置关系有哪几种？
2．观察三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
二.新课学习：
1. 作一个圆，把直尺边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
（1）直线和圆有两个交点，这时直线与圆相交；
（2）直线和圆有一个交点，这时直线与圆相切；
（3）直线和圆没有交点，这时直线与圆相离．
2. 圆心O到直线l的距离为d，与⊙O的半径为r.
（1）d与r的大小有什么关系？
（2）你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？
（1）直线和圆相交<=> d＜r；
（2）直线和圆相切<=> d = r；
（3）直线和圆相离<=> d＞r.
3. 你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗
4. 下面的三个图形是轴对称图形吗？
（1）如果是,你能画出它们的对称轴吗？
（2）你能由此悟出点什么？
5. 如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
6. 例题探究
例1. 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，直角边AC=4cm.
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
三.尝试应用：
1. 若直线和圆相交，圆的半径为r,且直线到圆心的距离为５，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
2. 已知⊙O的直径为12cm．
（1）若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关系为________；
（2）若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O 的位置关系为________；
3. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
四.自主总结：
1.三种位置关系： 、 、 .
2.d与r的大小关系： 相切；d>r相离； 相交.
3.切线的性质：圆的切线垂直于 的半径.
五.达标测试
一、选择题
1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2. 已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（ ）
A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥5
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
二、填空题
4. 如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=3，则线段BC的长度等于 ．
5.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 ．
6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．
三、解答题
7．以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r的取值是多少？
8. ．如图，AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，OD与AB相交于点C．求证：BD=CD．
9. 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，求∠BAC的度数．
10．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD=2，EC=，∠BAC=60°，求⊙O的半径．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．【解析】由⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，可得当P与切点重合时，OP=5，当P与切点不重合时，OP＞5，继而求得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，
∴当P与切点重合时，OP=5，
当P与切点不重合时，OP＞5，
∴OP≥5．
故选D．
【点评】此题考查了切线的性质．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用，注意垂线段最短．
3．【解析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=50°，
∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，
∴∠A=20°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．
二、填空题
4．【解析】如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴OD=CD，
∵CD=3，
∴BC=OD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
5.【解析】连接OC，即可得出∠OCA=∠A=25°，再根据切线的性质即可得出∠OCD=90°，进而得出∠ACD=115°，由三角形内角和定理即可算出∠D的度数，此题得解．
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠OCA=∠A=25°．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=25°+90°=115°，
∴∠D=180°﹣∠A﹣∠ACD=180°﹣25°﹣115°=40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据切线的性质以及等腰三角形的性质找出∠ACD的度数是解题的关键．
6．【解析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE=90°，
∵∠COB=2∠CDB=40°，
∴∠E=90°﹣∠COB=50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
7．【解析】由以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得⊙P与x轴相切或⊙P过原点，然后分别解析求解即可求得答案．
【解答】解：∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，r=OP==．
∴r应满足：r=2或．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
8. 【解析】连结OB，根据切线的性质得OB⊥BD，则∠1+∠2=90°，由OD⊥OA得∠AOC=90°，则∠A+∠4=90°，利用∠1=∠A得到∠2=∠4，再根据对顶角相等得∠3=∠4，所以∠2=∠3，然后根据等腰三角形的判定得到DB=BC．
【解答】解：连结OB，如图，
∵BD切⊙O于点B，
∴OB⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠4=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠4，
而∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∴DB=BC．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
9．【解析】首先连接OA，由AC是⊙O的切线，可得OA⊥AC，又由OA=OB，∠B=70°，根据等边对等角的性质，可求得∠OAB的度数，继而求得∠BAC的度数．
【解答】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
即∠OAC=90°，
∵OA=OB，∠B=70°，
∴∠OAB=∠B=70°，
∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=20°．
【点评】此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10. 【解析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论；
（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=，
∴AE=2．
设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得
x2+12=4x2，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了角平分线的判定及性质的运用，切线的性质的运用，30度角的直角三角形的性质的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时合理运用切线的性质是关键．
学习目标
1.经历探索直线和圆位置关系的过程．
2.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
3.了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
学习策略
1.本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系，
2.渗透了数形结合、分类、类比、化归等数学思想，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性．
3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验
学习过程
一.复习回顾：
1.点与圆的位置关系有哪几种？
2．观察三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的 这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
二.新课学习：
1. 作一个圆，把直尺边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
（1）直线和圆有两个交点，这时直线与圆相交；
（2）直线和圆有一个交点，这时直线与圆相切；
（3）直线和圆没有交点，这时直线与圆相离．
2. 圆心O到直线l的距离为d，与⊙O的半径为r.
（1）d与r的大小有什么关系？
（2）你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？
（1）直线和圆相交<=> d＜r；
（2）直线和圆相切<=> d = r；
（3）直线和圆相离<=> d＞r.
3. 你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗
4. 下面的三个图形是轴对称图形吗？
（1）如果是,你能画出它们的对称轴吗？
（2）你能由此悟出点什么？
5. 如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
6. 例题探究
例1. 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，直角边AC=4cm.
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
三.尝试应用：
1. 若直线和圆相交，圆的半径为r,且直线到圆心的距离为５，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
2. 已知⊙O的直径为12cm．
（1）若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关系为________；
（2）若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O 的位置关系为________；
3. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
四.自主总结：
1.三种位置关系： 、 、 .
2.d与r的大小关系： 相切；d>r相离； 相交.
3.切线的性质：圆的切线垂直于 的半径.
五.达标测试
一、选择题
1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2. 已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（ ）
A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥5
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
二、填空题
4. 如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=3，则线段BC的长度等于 ．
5.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 ．
6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．
三、解答题
7．以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r的取值是多少？
8. ．如图，AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，OD与AB相交于点C．求证：BD=CD．
9. 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，求∠BAC的度数．
10．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD=2，EC=，∠BAC=60°，求⊙O的半径．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．【解析】由⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，可得当P与切点重合时，OP=5，当P与切点不重合时，OP＞5，继而求得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，
∴当P与切点重合时，OP=5，
当P与切点不重合时，OP＞5，
∴OP≥5．
故选D．
【点评】此题考查了切线的性质．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用，注意垂线段最短．
3．【解析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=50°，
∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，
∴∠A=20°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．
二、填空题
4．【解析】如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴OD=CD，
∵CD=3，
∴BC=OD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
5.【解析】连接OC，即可得出∠OCA=∠A=25°，再根据切线的性质即可得出∠OCD=90°，进而得出∠ACD=115°，由三角形内角和定理即可算出∠D的度数，此题得解．
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠OCA=∠A=25°．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=25°+90°=115°，
∴∠D=180°﹣∠A﹣∠ACD=180°﹣25°﹣115°=40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据切线的性质以及等腰三角形的性质找出∠ACD的度数是解题的关键．
6．【解析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE=90°，
∵∠COB=2∠CDB=40°，
∴∠E=90°﹣∠COB=50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
7．【解析】由以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得⊙P与x轴相切或⊙P过原点，然后分别解析求解即可求得答案．
【解答】解：∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，r=OP==．
∴r应满足：r=2或．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
8. 【解析】连结OB，根据切线的性质得OB⊥BD，则∠1+∠2=90°，由OD⊥OA得∠AOC=90°，则∠A+∠4=90°，利用∠1=∠A得到∠2=∠4，再根据对顶角相等得∠3=∠4，所以∠2=∠3，然后根据等腰三角形的判定得到DB=BC．
【解答】解：连结OB，如图，
∵BD切⊙O于点B，
∴OB⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠4=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠4，
而∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∴DB=BC．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
9．【解析】首先连接OA，由AC是⊙O的切线，可得OA⊥AC，又由OA=OB，∠B=70°，根据等边对等角的性质，可求得∠OAB的度数，继而求得∠BAC的度数．
【解答】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
即∠OAC=90°，
∵OA=OB，∠B=70°，
∴∠OAB=∠B=70°，
∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=20°．
【点评】此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10. 【解析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论；
（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=，
∴AE=2．
设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得
x2+12=4x2，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了角平分线的判定及性质的运用，切线的性质的运用，30度角的直角三角形的性质的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时合理运用切线的性质是关键．