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新定义型专题
知识引导：
（一）专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
“新定义”型问题逐渐成为近年来中考数学压轴题的新亮点和常考点。在复习中应重视和培养学生的理解能力和创新能力，学会应用新的知识解决问题。
（二）解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
例题讲解
例1．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 ．
【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，
即3×449+5＝1352（偶数），
需再进行F②运算，
即1352÷23＝169（奇数），
再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），
再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），
再进行F②运算，即8÷23＝1，
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，
即第1次运算结果为1352，…，
第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，
可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，
从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，
这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．
故本题答案为：8．
例2．砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．
【解答】解：∵210÷3＝70，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140；
∵140÷3＝46…2，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94；
∵94÷3＝31…1，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，
∵63＜66，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．
故答案为：3．
例3．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若AB＝，则MN＝ ．
【解答】解：设MN＝x．由题意可知DE＝AB＝，
∵∠EDM＝∠ECD＝36°，∠END＝∠EDN＝72°，
∴DE＝EN，同理CD＝CM，
∴EM＝﹣x，EC＝EN+CM﹣MN＝﹣1﹣x，
∵∠DEM＝∠DEC，
∴△DEM∽△CED，
∴DE2＝EM EC，
∴（）2＝（﹣x）（﹣1﹣x），
整理得x2﹣（﹣1）x+＝0，
∴[x﹣（﹣1）]2＝（﹣1）2，
∴x＝﹣2或（﹣1）不合题意舍弃，
∴MN＝﹣2．
故答案为：﹣2．
例4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”，例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3），若点P在函数y＝（x+1）（x﹣3）的图象上，则其“可控变点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：画出函数y＝﹣x2+2x+3的图象，如图所示．
将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象．
故选：B．
例5．我们把两边之比为整数的三角形称为倍比三角形．其中，这个整数比称为倍比，第三条边叫做该三角形的底．
（1）如图1，△ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为3，若∠C＝90°，AC＝2，求BC的长；
（2）如图2，△ABC中，D为BC边上一点，BD＝3，CD＝1，连结AD．若AC＝2，求证：△ABD是倍比三角形，并求出倍比；
（3）如图3，菱形ABCD中，∠BAD为钝角，P为对角线BD上一动点，过P作PH⊥CD于H、当CP+PH的值最小时，APCD恰好是以PD为底的倍比三角形，记倍比为x，＝y，求y关于x的函数关系式．
【解答】解：（1）∵△ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为3，
∴AB＝3BC，
∵∠C＝90°，AC＝2，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+8＝9BC2，
∴BC＝1．
（2）∵BD＝3，CD＝1，AC＝2，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝，
∵∠BCA＝∠ACD，
∴△BCA∽△ACD，
∴＝＝2，
∴△ABD是倍比三角形，倍比为2．
（3）过点A作AH⊥CD交BD于点P，此时CP+PH的值最小．
不妨设AP＝CP＝a，由＝y，得到PH＝，
∵△PCD是以PD为底的倍比三角形，倍比为x．
∴＝x，即CD＝ax，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝AD＝CD＝ax，
∴∠ABP＝∠HDP，∠BAP＝∠DHP，
∴△ABP∽△HDP，
∴＝，即DH＝，
在Rt△ADH中，∵AH2+DH2＝AD2，
∴（a+）2+（）2＝（ax）2，
∴+＝x2，
∴（1+y）2＝x2（y2﹣1），
∴y＝．
例6．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+3∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝120°，
即∠B与∠C的度数和为120°；
（2）证明：∵在△BED和△BEO中
∴△BED≌△BEO，
∴∠BDE＝∠BOE，
∵∠BCF＝∠BOE，
∴∠BCF＝∠BDE，
连接OC，
设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，
∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，
∴四边形DBCF是半对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，
∵四边形DBCF是半对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴BC＝2BM＝BO＝BD，
∵DG⊥OB，
∴∠HGB＝∠BAC＝60°，
∵∠DBG＝∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，
∴＝（）2＝，
∵DH＝BG，BG＝2HG，
∴DG＝3HG，
∴＝，
∴＝．
例7．定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在的直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边
（1）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B．求证：⊙O是△ABC的切圆；
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的切圆，且另两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径；
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H．若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB＝BC，∠A＝30°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝30°，
∴∠BOA＝∠C+∠OBC＝60°，
∴∠OBA＝180°﹣∠A﹣∠BOA＝90°，
∴OB⊥AB，
∴AB为⊙O的切线，
∵点O在AC边上，
∴⊙O是△ABC的切圆；
（2）解：①如图2﹣1，当圆心O在BC边上，且与AB，AC相切于点N，M时，连接AO，OM，ON，
则OM⊥AC，ON⊥AB，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BO＝OC＝BC＝6，
在Rt△AOC中，
AO＝＝8，
∵S△AOC＝AC OM＝OC AO，
∴10OM＝6×8，
∴OM＝，
∴⊙O的半径为；
②如图2﹣2，当圆心O在腰AC上，且与AB，BC相切于点N，M时，连接OM，ON，过点A作AH⊥BC于点H，
则OM⊥BC，ON⊥AB，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BH＝CH＝BC＝6，
在Rt△AHC中，
AH＝＝8，
∵∠AHC＝∠OMC＝90°，∠C＝∠C，
∴△COM∽△CAH，
∴＝＝，
设⊙O半径为r，
∴＝＝，
∴OC＝r，CM＝r，
∴BN＝BM＝BC﹣CM＝12﹣r，AO＝AC﹣OC＝10﹣r，
∴AN＝AB﹣BN＝r﹣2，
在Rt△AON中，
AN2+ON2＝AO2，
∴（r﹣2）2+r2＝（10﹣r）2，
解得，r＝；
综上所述，⊙O的半径为或；
（3）如图3，连接AF，OD，DB，OF，OD与BF交于K，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAF+∠FAB＝90°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∴∠FAB+∠B＝90°，
∴∠CAF＝∠B，
∴△CAF∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝2，
在Rt△ABF中，
AB＝＝3，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠FAD＝∠BAD，
∴∠FOD＝∠BOD，
∵OF＝OB，
∴OD⊥BF，FK＝BK＝，
∵BO＝AO，
∴OK＝AF＝，
∴DK＝OD﹣OK＝﹣＝，
在Rt△KDB中，
DB＝＝，
在Rt△ABD中，
AD＝＝，
∵∠FAD＝∠BAD，
∴tan∠FAD＝tan∠BAD，
∴＝，
即＝，
∴EF＝2，
∵∠FAD＝∠BAD，∠AFE＝90°，EH⊥AB，
∴EH＝EF＝2．
专题训练
1．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，1），D（1，1）．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是（ ）
A．（﹣35，1） B．（﹣37，1） C．（39，﹣1） D．（﹣37，﹣1）
【解答】解：从图中可以看出A1的坐标是（﹣1，﹣3）
A2的坐标是（﹣5，1）
A3的坐标是（1，7）
A4的坐标是（9，﹣1）
18÷4＝4…2
∴点A18的坐标是A2的坐标循环后的点．
依次循环则A18的坐标在y轴上的是1，
x轴上的坐标是可以用n＝﹣（1+2n）（n为自然数）表示．
那么A18实际上是当n＝18时的数，所以﹣（1+2×18）＝﹣37．
A18的坐标是（﹣37，1），
故选：B．
2．数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，即n！＝1×2×3×…×（n﹣1）×n；把1到n的连续n个自然数的和记作，即，则的值等于 0 ．
【解答】解：
＝+（1+2+3+…+2013﹣1﹣2﹣3﹣…﹣2014）
＝2014﹣2014
＝0．
故答案为：0．
3．用f（n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f （5）＝5，f（29）＝18，f （207）＝14．则f （1）+f （2）+……+f（200）＝ 2116 ．
【解答】解：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（200）
＝（1+2+3…+9）+1×（1+2+3…+9）+2×（1+2+3…+9）+3×（1+2+3…+9）+…+9×（1+2+3…+9）+（1+2+3…+9+1）
＝（1+2+3…+9）×（1+1+2+3…+9）+46
＝45×46+46
＝4233
故答案为：4233
4．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 3 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【解答】解：①[]＝9，[]＝3，[]＝1，
故答案为：3；
②最大的是225，
[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
5．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知，是a1的差倒数，a3是的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2012＝ ﹣ ．
【解答】解：∵a1＝3，a2为a1的差倒数，
∴a2＝＝﹣，又a3为a2的差倒数，
∴a3＝＝，又a4为a3的差倒数，
∴a4＝＝3，又a5为a4的差倒数，
∴a5＝＝﹣，
同理a6＝，a7＝3，…，
∵2019÷3＝673…0，
∴a2019＝．
故答案为：
6．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果当 x≥0时，y′＝y；当 x＜0时，y′＝﹣y，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点（﹣5，6）的“关联点”为（﹣5，﹣6）．如果点N（n+1，2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”，则点M的坐标为 （﹣5，﹣2） ．
【解答】解：当n+1≥0时，点M为（n+1，2），
∴n+1+3＝2，
∴n+1＝﹣1，与n+1＞0冲突，故舍去；
当n+1＜0时，点M为（n+1，﹣2），
∴n+1+3＝﹣2，
∴n+1＝﹣5，
∴点M的坐标为（﹣5，﹣2）．
故答案为：（﹣5，﹣2）．
7．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 ﹣≤a＜0或0＜a≤ ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x＝，
当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，
当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，
画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，
当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，
故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．
8．对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM＝∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点，如图①．
（1）如图②，Rt△ABC中，∠A＝60°，D为斜边AB的中点，E为BC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的反射点；
（2）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，点P为A，D在BC上的反射点，若BD＝5，AD＝15，求的值；
（3）如图④，在8×8的正方形网格中，已知格点三角形AMN，请仅用直尺在AN上作出点B，使A，B在MN上的反射点P满足MP：NP＝1：2；
（4）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，是否存在AB上的点D，BC上的点P，使点D为P，C在AB上的反射点，点P为A，D在直线BC上的反射点．若存在，求出PD：CD；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝AB，
又∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵E为BC的中点，D为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE，
∴点D为C，E在直线AB上的反射点；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵BD＝5，AD＝15，
∴AB＝20，
又∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴BC＝AC＝20，
同理可得BH＝DH＝5，
∴CH＝15，
∵点P为A，D在BC上的反射点，
∴∠DPH＝∠APC，
又∵∠DHP＝∠C＝90°，
∴△DPH∽△APC，
∴＝＝，
∴HP＝3，CP＝12，
∴BP＝8，
∴＝；
（3）如图，连接格点C，D，交MN于点P，则，
作点A关于MN的对称点A'，作射线A'P交AN于点B，则点B即为所求．
（4）如图，作点C关于AB的对称点C'，则四边形ACBC'为正方形，点D在C'P上，
作点A关于BC的对称点A'，则点P在DA'上，
∴C'，D，P，A在同一直线上，
CA'＝CA＝C'A＝C'B＝BC，CD＝C'D，
∴△C'BP≌△A'CP，
∴BP＝BC＝C'A，
∵△BDP∽△ADC'，
∴＝＝，
∴．
9．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN＝45°，AM，AN分别交BD于E，F
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．
【解答】解：（1）解：（1）①当MN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BM＝＝＝，
②当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝5，
综上，BN＝或5；
（2）作法：①在AB上截取CE＝CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF＝CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示．
（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．
∵∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∠DAF＝∠BAH，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
∵EA＝EA，AH＝AF，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF＝HE，
∵∠ABH＝∠ADF＝45°＝∠ABD，
∴∠HBE＝90°，
在Rt△BHE中，HE2＝BH2+BE2，
∵BH＝DF，EF＝HE，
∵EF2＝BE2+DF2，
∴E、F是线段BD的勾股分割点．
②证明：如图4中，连接FM，EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADB＝45°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝∠EDN，∵∠AFE＝∠FDN，
∴△AFE∽△DFN，
∴∠AEF＝∠DNF，＝，
∴＝，∵∠AFD＝∠EFN，
∴△AFD∽△EFN，
∴∠DAF＝∠FEN，
∵∠DAF+∠DNF＝90°，
∴∠AEF+∠FEN＝90°，
∴∠AEN＝90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM＝AF，AN＝AE，
∵S△AMN＝AM AN sin45°，
S△AEF＝AE AF sin45°，
∴＝＝2，
∴S△AMN＝2S△AEF．
10．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
11．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 正方形 ；
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连结AE、BD交于点F，若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP＝α，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．
①求证：四边形ABED为圆美四边形；
②若α＝60°，PA+PE＝8，＝．求DE的最小值．
【解答】解：（1）根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形，
故答案为：正方形；
（2）连结BD，AE，
∵∠BAC＝90°，∴BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CED＝90 ，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAE＝90 ，
∵∠CAE+∠BAE＝90 ，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴＝，
∴AD＝DE
∴在等腰直角△CDE中，CD＝DE，
∴CD＝AD，
∴AC＝（+1）AD，
∵AB＝AC，AD＝DE，
∴＝+1，
（3）①∵PA⊥PD，PB⊥PE，
∴∠APD＝∠BPE＝90 ，
∵∠PBC＝∠ADP，
∴△APD∽△EPB，
∴
∴，
又∵∠APD+∠DPE＝∠BPE+∠DPE，
即∠APE＝∠DPB
∴△APE∽△DPB，
∴∠AEP＝∠DBP，
又∵∠DBP+∠PGB＝90 ，∠PGB＝∠EGF，
∴∠AEP+∠EGF＝90
即∠BFE＝90 ，
∴BD⊥AE，
又∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴四边形ABED为圆美四边形；
②∵BD⊥AE，
∴AD2+BE2＝AF2+FD2+BF2+EF2，AB2+DE2＝AF2+BF2+DF2+EF2
∴AD2+BE2＝AB2+DE2，
∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴∠CDE＝∠CBA，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
设PA＝x，PE＝8﹣x，DE＝y，AB＝y
∵α＝60 ，∠APD＝∠BPE＝90
∴AD＝x，BE＝（8﹣x），
∴y2+（y）2＝（x）2+[（8﹣x）]2，
∴y2＝x2+（8﹣x）2＝（x﹣4）2+，
∵＞0
∴当x＝4时，y取到最小值，
即DE的最小值为．
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新定义型专题
知识引导：
（一）专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
“新定义”型问题逐渐成为近年来中考数学压轴题的新亮点和常考点。在复习中应重视和培养学生的理解能力和创新能力，学会应用新的知识解决问题。
（二）解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
例题讲解
例1．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 ．
例2．砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个．
例3．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若AB＝，则MN＝ ．
例4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”，例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3），若点P在函数y＝（x+1）（x﹣3）的图象上，则其“可控变点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例5．我们把两边之比为整数的三角形称为倍比三角形．其中，这个整数比称为倍比，第三条边叫做该三角形的底．
（1）如图1，△ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为3，若∠C＝90°，AC＝2，求BC的长；
（2）如图2，△ABC中，D为BC边上一点，BD＝3，CD＝1，连结AD．若AC＝2，求证：△ABD是倍比三角形，并求出倍比；
（3）如图3，菱形ABCD中，∠BAD为钝角，P为对角线BD上一动点，过P作PH⊥CD于H、当CP+PH的值最小时，APCD恰好是以PD为底的倍比三角形，记倍比为x，＝y，求y关于x的函数关系式．
例6．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
例7．定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在的直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边
（1）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B．求证：⊙O是△ABC的切圆；
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的切圆，且另两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径；
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H．若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．
专题训练
1．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，1），D（1，1）．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是（ ）
A．（﹣35，1） B．（﹣37，1） C．（39，﹣1） D．（﹣37，﹣1）
2．数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，即n！＝1×2×3×…×（n﹣1）×n；把1到n的连续n个自然数的和记作，即，则的值等于 ．
3．用f（n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f （5）＝5，f（29）＝18，f （207）＝14．则f （1）+f （2）+……+f（200）＝ ．
4．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
5．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知，是a1的差倒数，a3是的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2019＝ ．
6．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果当 x≥0时，y′＝y；当 x＜0时，y′＝﹣y，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点（﹣5，6）的“关联点”为（﹣5，﹣6）．如果点N（n+1，2）是一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”，则点M的坐标为 ．
7．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 ．
8．对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM＝∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点，如图①．
（1）如图②，Rt△ABC中，∠A＝60°，D为斜边AB的中点，E为BC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的反射点；
（2）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，点P为A，D在BC上的反射点，若BD＝5，AD＝15，求的值；
（3）如图④，在8×8的正方形网格中，已知格点三角形AMN，请仅用直尺在AN上作出点B，使A，B在MN上的反射点P满足MP：NP＝1：2；
（4）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，是否存在AB上的点D，BC上的点P，使点D为P，C在AB上的反射点，点P为A，D在直线BC上的反射点．若存在，求出PD：CD；若不存在，请说明理由．
9．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝4求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN＝45°，AM，AN分别交BD于E，F
求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．
10．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
11．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 ；
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连结AE、BD交于点F，若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP＝α，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．
①求证：四边形ABED为圆美四边形；
②若α＝60°，PA+PE＝8，＝．求DE的最小值．
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