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4.3.2（第2课时）等比数列的前n项和的性质及应用教学设计
课题 等比数列的前n项和的性质及应用 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《等比数列前n项和》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 本节教材的编排与《等差数列前n项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前n项和公式在解决问题中的应用。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象：等比数列的前n项和公式 2逻辑推理：等比数列的前n项和公式的运用 3数学运算：等比数列的前n项和公式的运用 4数学建模： 运用等比数列的前n项和公式解决实际问题 5数据分析：从“等比数列的前n项和公式”到“等比数列的前n项和的性质”再到实际问题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性、严密性及系统性
重点 等比数列前n项和公式及其应用
难点 运用等比数列解决实际问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 温故知新 等比数列前n项和公式 已知量求和公式
思考 1. 类比等差数列，等比数列的前n项和有什么函数特性？ 提示： 1. ①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即 和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况. ② 当q=1时，是n的正比例函数. 当公比 时，等比数列的前n项和公式是 它可以变形为 设 ，上式可写成 是一个指数式与一个常数的和， 且指数式的系数与常数项互为相反数. 其中 复习导入 复习旧知识，使学生更快地接受新知识，即加强新旧知识间的联系，同时又使整节课教学结构紧密。
讲授新课 拓展 等比数列前n项和的性质 1数列是等比数列 2若等比数列的前n项和为，则 成等比数列 （其中均不为0，即当q=-1,n为偶数时，上述性质不成立） 3 若等比数列的公比为q，则 4 等比数列的项数是偶数时， ; 等比数列的项数是奇数时， . 例10 如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列. 解：设正方形ABCD的面积 ，后继各正方形的面积依次为，，，，，则 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以 因此，是以25为首项， 为公比的等比数列. 设的前n项和为 . （1） 所以，当10个正方形的面积之和为 . （2）当n无限增大时，无限趋近于所有四方形的面积和 而 随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50 . 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例 11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则 当n=5时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中 为常数； （3）求 的值（精确到1）. 分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系； （2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组； （3）利用（2）的结论可得出解答. 解：（1）由题意，得 ，并且 ① （2）将 化成 ② 比较①②的系数，可得 解这个方程组，得 所以，（1）中的递推公式可以化为 （3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 所以 课堂练习： 1在数列中，（c为非零常数）且前n项和，则实数k的取值是什么？ 提示： 由题知，是等比数列 ∴的系数与常数项互为相反数. 而的系数为，∴ （同类巩固） 若等比数列中，，则m=__-2 已知等比数列的前n项和为，则x的值为 __ 已知等比数列的前n项和为，则a的值为 __ 2数列是首项为1，公比为2等比数列，其前n项和为，若，则k=__. 分析：直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出结果. 解：数列是首项为1，公比为2等比数列， 故 ，所以 所以， 所以 k=4 3 （裂项求和） 数列， 满足，，则 的前10项之和为（） A． B． C． D． 解： 数列， 满足，， ∴ ∴ 的前10项之和为： 故选：D 4 （等比数列前n项和性质） 各项均为正数的等比数列中，若，求. 解： 法一 设的公比为q，显然. 由已知条件可列出方程组 两式作商 得 ∴ ∴ 法二 由性质 得 即 ∴ ∴ 法三 运用性质 成等比数列 ∵ 成等比数列 而 ∴ 即 ∴ 法四 由 得 所以 由已知 易得 故 即 得 又 解得 5 已知是公比为q的等比数列，其前n项和为，且 . （1）求q; （2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为 ，当时，试比较与 的大小. 解： （1）当q=1时，若，则应有，这与矛盾，故 . 由， 两式相除，得 ，解得 （2）由题意知 当时， 所以 当 时， ; 当n=10时， ； 当 时， . 你能说明理由吗？ 以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和的知识解决问题。体会等比数列与指数函数的关系。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 以垃圾处理问题为背景，引导学生运用数列的知识解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 以牧场牛的存栏量问题为背景，引导学生运用等比数列的知识解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。 练习巩固
课堂小结 1 等比数列前n项和的性质 2 例10、11、12 3 课堂练习
板书 1复习 2 等比数列前n项和的性质 3 例10、11、12 4 课堂练习
教学反思
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4.3.2 等比数列的前n项和
的性质及应用
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
温故知新
等比数列前n项和公式
已知量
求和公式
新知导入
思考
1. 类比等差数列，等比数列的前 n 项和 有什么函数特性？
提示：
1. ①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论， 即 和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.
② 当q=1时，是n的正比例函数.
当 时，等比数列的前n项和公式是
它可以变形为
设 ，
上式可写成
是一个指数式与一个常数的和，
且指数式的系数与常数项互为相反数.
其中
新知讲解
拓展
等比数列前n项和的性质
1 数列是等比数列
2 若等比数列的前n项和为，则
成等比数列
（其中均不为0，即当 q=-1,n为偶数时，上述性质不成立）
3 若等比数列的公比为q，则
等比数列的项数是偶数时，
等比数列的项数是奇数时，
合作探究
例10 如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：
可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
合作探究
解：
设正方形ABCD的面积 ，后继各正方形的面积依次为，，，，，则
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
因此，是以25为首项， 为公比的等比数列.
设的前n项和为 .
（1）
所以，当10个正方形的面积之和为
合作探究
（2）当n无限增大时，无限趋近于所有四方形的面积和 而
随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50 .
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
合作探究
例 11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：
由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
合作探究
解：
设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则
当n=5时，
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
合作探究
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中 k, r为常数；
（3）求 的值（精确到1）.
分析：
（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；
（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；
（3）利用（2）的结论可得出解答.
合作探究
解：
（1）由题意，得 ，并且
①
（2）将 化成
②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，（1）中的递推公式可以化为
合作探究
（3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
所以
课堂练习
1 在数列中，（c为非零常数）且前n项和，则实数k的取值是什么？
提示：
由题知，是等比数列
∴ 的系数与常数项互为相反数.
而 的系数为 ，∴
合作探究
（同类巩固）
① 若等比数列中，，则m=__
② 已知等比数列的前n项和为，则 x 的值为 __
③ 已知等比数列的前n项和为，则 a 的值为 __
-2
课堂练习
2 数列是首项为1，公比为2等比数列，其前n项和为，若，则k=__.
分析：
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出结果.
解：
数列是首项为1，公比为2等比数列，
故 ，所以
所以，
所以 k=4
4
课堂练习
3 （裂项求和）
数列， 满足，，则 的前10项之和为（ ）
A． B． C． D．
解：
数列， 满足 ，，
∴
∴ 的前10项之和为：
D
课堂练习
4 （等比数列前n项和性质）
各项均为正数的等比数列中，若，求.
解：
法一
设的公比为q，显然.
由已知条件可列出方程组
两式作商 得
∴
∴
课堂练习
4 （等比数列前n项和性质）
各项均为正数的等比数列中，若，求.
解：
法二
由性质 得
即
∴
∴
课堂练习
4 （等比数列前n项和性质）
各项均为正数的等比数列中，若，求.
解：
法三
运用性质 成等比数列
∵ 成等比数列
而
∴
即
∴
课堂练习
4 （等比数列前n项和性质）
各项均为正数的等比数列中，若，求.
解：
法四
由 得
所以
由已知 易得
故
即 得
又
解得
课堂练习
5 已知是公比为q的等比数列，其前n项和为，且 .
（1）求q;
（2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为 ，当时，试比较与 的大小.
解：
（1）当q=1时，若，则应有，这与矛盾，故
由 ，
两式相除，得 ，
解得
课堂练习
5 已知是公比为q的等比数列，其前n项和为，且 .
（2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为 ，当时，试比较与 的大小.
解：
（2）由题意知
当时，
所以
当 时，
当 n=10时，
当 11 时，
课堂总结
1 等比数列前n项和的性质
2 例10、11、12
3 课堂练习
板书设计
1 复习
2 等比数列前n项和的性质
3 例10、11、12
4 课堂练习
作业布置
课本41页习题4.3
（5、6、7）
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