(共29张PPT)
4.3.2 等比数列的前n项和
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
新知导入
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
新知讲解
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
合作探究
等比数列前n项和公式推导——“错位相减法”
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①
用公比q乘①的两边，可得
②
①-② 得
即
合作探究
等比数列前n项和公式推导——“错位相减法”
当时，等比数列的前n项和公式
（1）
因为 所以，公式（1）还可以写成
（2）
合作探究
等比数列前n项和公式推导——“方法二”
（结论同上）
合作探究
等比数列前n项和公式推导——“方法三”
当
当q=1时，
新知讲解
注：
1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
（1）
（2）
2．当q≠1时，若已知及q，则用公式 （1）较好，
若已知及q，则用公式 （2）较好
新知讲解
下面，解决本课开头提出的问题.
由 ，q=2，n=64，可得
这个数很大，超过了 .
如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言.
合作探究
例7 已知数列是等比数列.
（1）若， ， 求 ；
（2）若 ， ， , 求 ；
（3）若 ，，，求n .
解：
（1）因为 ， ，所以
合作探究
例7 已知数列是等比数列.
（2）若 ， ， , 求 ；
（3）若 ，，，求n .
解：
（2）由 ， ，可得
即
又由 ，得 ，
所以
合作探究
例7 已知数列是等比数列.
（3）若 ，，，求n .
解：
（3）把 ，， 代入
得
整理，得
解得 n=5 .
合作探究
例8 已知等比数列的首项为-1，前n项和为 . 若 ，求公比q .
解：
若q=1，则
所以 .
当 ，由 ，得
整理，得
即
所以 .
合作探究
例9 已知等比数列的公比 ，前n项和为，
证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
当 时，
所以 ，， 成等比数列，公比为1.
合作探究
例9 已知等比数列的公比 ，前n项和为，
证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
当 时，
所以
因为 为常数，
所以 ，，成等比数列，公比为 .
课堂练习
1 判断下列计算是否正确
（1）
（2）
（3）
答：
（1）错
应改为
（2）错
应改为
（3）错，
应改为 5n
q=1，不能用求和公式
课堂练习
2 在等比数列中：
（1）若，且q>0，求.
（2）若 ，求和公比q.
解：
（1）∵ 为等比数列且 ，
∴ ∴
∴
课堂练习
2 在等比数列中：（2）若 ，求和公比q.
解：
（2）① 当时，
又
∴
即
解得
∴
② 当q=1时，
∴
综上得 或
课堂练习
3已知等比数列满足 ，且
（1）求的通项公式及前n项和
（2）若，求的前n项和.
解：
分析：
（1）直接利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出通项公式和求和公式；
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.
（1）设数列的公比为q，
由 ，可得
所以 ，
所以
所以
课堂练习
3已知等比数列满足 ，且
（2）若，求的前n项和.
解：
（2）由（1）可得
则
课堂练习
4 已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明： .
解：
（1）首项为 的等比数列的前n项和为，且成等差数列
所以 ， 整理得 ，
所以
所以
课堂练习
4 已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列.
（2）证明： .
证明：
（2）由（1）得
故
，
课堂练习
当n为偶数时，
∴ 当n为奇数时， ，
当n为偶数时，
综上， 成立.
当n为奇数时，
课堂总结
1 等比数列前n项和公式
已知量 首项 首项
求和公式
2 例题
3 课堂练习
板书设计
1 引入
2 等比数列前n项和公式推导
3 例题讲解
4 课堂练习
作业布置
课本40页习题4.3
（3、4）
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4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计
课题 等比数列的前n项和 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《等比数列前n项和》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 本节教材的编排与《等差数列前n项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前n项和公式在解决问题中的应用。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 等比数列的前n项和公式 2逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导 3数学运算：等比数列的前n项和公式的应用 4数学建模：等比数列的前n项和公式 5数据分析：从“等比数列的通项公式”到“等比数列的前n项和”再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性
重点 等比数列前n项和公式及其应用
难点 等比数列前n项和公式的推导
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 情景引入 以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。 发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
讲授新课 让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和. 等比数列前n项和公式推导—— “错位相减法” 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？ 设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ① 我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 ，即 . 因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式 （1） 因为 所以，公式（1）还可以写成 （2） 公式推导方法二 （结论同上） 公式推导方法三 当 当q=1时， 注： 1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)． 2．当q≠1时，若已知及q， 则用公式Sn＝较好； 若已知，则用公式Sn＝较好． 有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了. 由 ，q=2，n=64，可得 这个数很大，超过了 . 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言. 例7 已知数列是等比数列. （1）若， ， 求 ； （2）若 ， ， , 求 ； （3）若 ， ， ，求n . 解：（1）因为 ， ，所以 （2）由 ， ，可得 即 又由 ，得 ， 所以 . （3）把 ， ， 代入 ，得 整理，得 解得 n=5 . 例8 已知等比数列的首项为-1，前n项和为 . 若 ，求公比q . 解： 若q=1，则 ， 所以 . 当 时，由 ，得 整理，得 即 所以 . 例9 已知等比数列的公比 ，前n项和为. 证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当 时， ， ， ， 所以，，成等比数列，公比为1. 当 时， ， 所以 . 因为 为常数，所以，，成等比数列，公比为 . 课堂练习 1 判断下列计算是否正确 （1） （2） （3） 答：（1）错 （2）错 （3）错 5n 2 在等比数列中： （1）若，且q>0，求. （2）若 ，求和公比q. 解： （1）∵ 为等比数列且 ， ∴ ∴ ∴ . （2）①当时， 又 ∴ 即 解得 ∴ ② 当q=1时， ∴ 综上得 或 3已知等比数列满足 ，且 （1）求的通项公式及前n项和 （2）若，求的前n项和. 分析（1）直接利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出通项公式和求和公式； （2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和. 解： （1）设数列的公比为q， 由，可得 所以， 所以 所以 （2）由（1）可得 则 4 已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明： . 解： （1）首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列 所以 ，整理得 ， 所以 所以 （2）由（1）得 故 ， 当n为奇数时， 当n为偶数时， ∴ 当n为奇数时， ， 当n为偶数时， 综上， 成立. “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法。 当q=1时，等比数列的前n项和等于多少？ 运用比例的性质推导 ？ 对于等比数列相关量 已知几个量就可以确定其他量 通过层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养，增强学生的应用意识。 “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量直接搭起桥梁，使问题得到解决。 例题巩固
课堂小结 1等比数列前n项和公式 已知量首项首项求和公式
2 例题 3课堂练习
板书 1引入 2等比数列前n项和公式推导 3例题讲解 4课堂练习
教学反思
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