(共16张PPT)
5.4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
第五章 平行四边形
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B
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见习题
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见习题
1．【 中考·北京】内角和为540°的多边形是( )
C
2．【 中考·宜昌】如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
B
3．【 中考·益阳】将一张长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )
A．360° B．540° C．720° D．900°
【点拨】①将长方形纸片沿一条对角线剪开，可得到两个三角形，其内角和之和为180°＋180°＝360°；②将长方形纸片沿一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，其内角和之和为180°＋360°＝540°；③将长方形纸片沿一组对边剪开，得到两个四边形，其内角和之和为360°＋360°＝720°；④将长方形纸片沿一组邻边剪开，得到一个五边形和一个三角形，其内角和之和为540°＋180°＝720°.故选D.
【答案】D
4．将一个n边形变成(n＋1)边形，则内角和将( )
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．增加360°
C
5．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边形对角线的条数是( )
A．27 B．35 C．44 D．54
C
6．一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是( )
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
D
7．【 中考·北京】若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
B
8．【 中考·广安】若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是( )
A．7 B．10 C．35 D．70
C
9．【 中考·河北】已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°；甲、乙两人的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：依题意，得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.解得x＝2.
10．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
【点拨】由于六个角不在同一个多边形中，所以考虑把它们转化到同一个多边形ABEF中，则这六个角的和等于多边形ABEF的内角和．
解：如图，连接BE.
因为∠COD＝∠BOE，
所以∠OBE＋∠OEB＝∠C＋∠D.
所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠OBE＋∠OEB＋∠FED＋∠F＝
∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°.(共34张PPT)
多边形的内角和
第五章平行四边形
5.4.1
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答 案 呈 现
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A
A
225°
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36°
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答 案 呈 现
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【中考·德阳】多边形的内角和不可能为( )
A．180° B．540°
C．1 080° D．1 200°
1
D
【点拨】n边形的内角和可以表示成(n－2)·180°(n≥3且n是整数)，所以n－2是整数，所以多边形的内角和能被180°整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1 200°，所以选D.
如图，∠B的度数为( )
A．85° B．95° C．105° D．115°
2
D
【点拨】∵五边形的内角和为
(5－2)×180°＝540°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°，∴∠B＝540°－∠A－∠C－∠D－∠E＝540°－125°－60°－150°－90°＝115°.故选D.
如图，点E在四边形ABCD的CD边的延长线上，若∠ADE＝120°，则∠A＋∠B＋∠C的度数为( )
A．240° B．260° C．300° D．320°
3
C
【点拨】∵∠ADE＝120°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°－∠ADE＝180°－120°＝60°.∵∠ADC＋∠A＋∠B＋∠C＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＝360°－∠ADC＝360°－60°＝300°.故选C.
4
D
下列图形中，内角和为720°的多边形是( )
【点拨】设多边形的边数为n，依题意有(n－2)·180°＝720°，解得n＝6.所以该多边形为六边形．故选D.
如图，四边形ABCD中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为α和β，则α＋β的度数是( )
A．360° B．540°
C．720° D．900°
5
B
【点拨】如图，四边形ABCE的内角和为(4－2)×180°＝360°，△ADE的内角和为180°，
∴α＋β＝360°＋180°＝540°.故选B.
如图，在四边形ABCD中，∠α，∠β分别是与∠BAD、∠BCD相邻的补角，且∠B＋∠CDA＝140°，则∠α＋∠β＝( )
A．260° B．150°
C．135° D．140°
6
D
【点拨】∵∠B＋∠CDA＋∠DAB＋∠BCD＝360°，∠B＋∠CDA＝140°，∴∠DAB＋∠BCD＝360°－140°＝220°.
∵∠α＋∠β＋∠DAB＋∠BCD＝360°，
∴∠α＋∠β＝360°－220°＝140°.故选D.
如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE的度数是( )
A．45° B．60°
C．72° D．无法确定
7
A
【点拨】设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∠AEF＝y°，则∠DEF＝3y°，依题意有4x＋4y＝540，解得x＋y＝135，则∠AFE＝180°－135°＝45°.故选A.
如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝( )
A．115° B．130° C．135° D．150°
8
A
9
如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝________．
225°
【点拨】∵∠A＝45°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°－∠A＝360°－45°＝315°.∵∠1＋∠2＋∠B＋∠C＋∠D＝(5－2)×180°，∴∠1＋∠2＝225°.
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如图，螺母的截面是正六边形，则∠1的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
C
【点拨】∵这个正六边形的内角和等于(6－2)×180°＝720°，∴每个内角为720°÷6＝120°，∴∠1＝180°－120°＝60°.故选C.
如图，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，那么∠APB的度数是( )
A．36° B．54° C．60° D．66°
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D
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如图，在△ABC中内接一个正五边形ADEFG，则∠ABC＝________．
36°
【点拨】∵五边形ADEFG是正五边形，∴∠ADE＝∠DEF＝(5－2)×180°÷5＝108°，∴∠BDE＝∠BED＝72°，∴∠ABC＝180°－∠BDE－∠BED＝36°.
如图，已知五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝130°，∠B＝70°，∠D＝125°，求∠C，∠E的度数．
13
解：∵AB∥CD，∴∠C＝180°－∠B＝110°.
∵五边形ABCDE的内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴在五边形ABCDE中，∠E＝540°－130°－70°－110°－125°＝105°.
∴∠C的度数是110°，∠E的度数是105°.
如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，已知EF⊥BC，求证：EF平分∠AED.
14
证明：∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°且五边形ABCDE的5个内角都相等，
∴∠A＝∠B＝∠AED＝540°÷5＝108°.
∵EF⊥BC，∴∠3＝90°.
又∵四边形的内角和为360°，
∴在四边形ABFE中，∠1＝360°－(108°＋108°＋90°)＝54°，又∵∠AED＝108°，∴∠1＝∠2＝54°，∴EF平分∠AED.
如图，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
15
解：设AB与CD的延长线交于点G，如图所示．
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠E＝∠F＝90°.
∵∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，
∴∠G＝(5－2)×180°－(124°＋155°＋90°×2)＝540°－459°＝81°.
∵81°≠80°，∴不符合规定．
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
16
解：如图，连接KF，GI.
∵七边形ABCDEFK的内角和＝(7－2)×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠IKA＋(∠1＋∠2)＝900°.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠IKA＋(∠3＋∠4)＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠IKA＋(∠3＋∠4)＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠FGH＋∠H＋∠HIK＋∠IKA＝1 080°.(共17张PPT)
5.4 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
第五章 平行四边形
4
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B
B
C
B
B
C
8
C
B
9
15.
10
见习题
1．五边形的外角和等于( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
B
2．【 中考·孝感】已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
B
3．【 中考·十堰】如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是( )
A．140 m B．150 m
C．160 m D．240 m
B
4．【 中考·宜昌】设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．b＝a＋180°
B
5．【 中考·南通】已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
6．【 中考·临沂】一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
C
7．【 中考·乌鲁木齐】如果正n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C
8．【 中考·莱芜】一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
C
【点拨】设该多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝360°×2＋180°，解得n＝7.而七边形有14条对角线．
9．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长是多少？
解：如图，分别作AB，CD，EF的延
长线和反向延长线使它们交于点G，P，H.
∵六边形ABCDEF的六个内角都相等，
∴六个内角都是120°.
∴六边形ABCDEF的每一个外角都是60°.∴△AHF，△BGC，△DPE，△GHP都是等边三角形．∴GB＝GC＝BC＝3，DP＝DE＝PE＝2，AH＝HF＝AF.
∴GH＝HP＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8，
∴HF＝FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4.
∴EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2.∴六边形ABCDEF的周长为1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.
10．(1)如图①②，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
解：设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.
∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
解：在四边形中，任意两个外角(不同顶点处取一个外角)的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(2)请你用文字描述上述关系；
(3)用你发现的结论解决下面的问题：
如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．(共32张PPT)
多边形的外角和
第五章平行四边形
5.4.2
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答 案 呈 现
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12
D
C
40°
296°
C
C
B
D
C
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十二
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答 案 呈 现
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15
45°
若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和( )
A．增加180° B．增加360°
C．减少180° D．不变
1
D
一个n边形的每一个外角都是72°，则n等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2
C
【中考·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走的路程为( )
A．80米 B．96米
C．64米 D．48米
3
C
【点拨】根据题意知，他需要转360÷45＝8(次)才会回到A点，∴一共走了8×8＝64(米)．故选C.
中国人民银行下发通知，自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为________．
4
40°
如图，在五边形ABCDE中，若∠D＝116°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．
5
296°
6
C
一个多边形所有内角与外角的和为1260°，则这个多边形的边数是( )
A．5 B．7
C．8 D．9
7
B
若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为( )
A．360° B．720°
C．900° D．1 440°
8
D
9
如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，则∠AED的度数是( )
A．88° B．98°
C．92° D．112°
C
【点拨】根据多边形外角和定理得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠5＝360°－4×68°＝88°，
∴∠AED＝180°－∠5＝180°－88°＝92°.故选C.
10
如图，M是正五边形ABCDE的边CD延长线上一点．连接AD，则∠ADM的度数是( )
A．108° B．120°
C．144° D．150°
A
在各个内角都相等的多边形中，如果一个外角等于一个内角的20%，那么这个多边形是________边形．
11
十二
【点拨】设这个多边形的每一个内角为x°，那么180－x＝20%x，解得x＝150，那么边数为360°÷(180°－150°)＝12.
12
【中考·河北】正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝________．
12
如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若与∠1，∠2，∠3，∠4相邻的补角和等于225°，则∠BOD＝________．
13
45°
【点拨】∵五边形AOEFG的外角和为360°，且与∠1，∠2，∠3，∠4相邻的补角和等于225°，∴与∠AOE相邻的补角为360°－225°＝135°，∴∠BOD＝180°－135°＝45°.
如图，BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β.
(1)如图①，若α＋β＝100°，求∠MBC＋∠NDC的度数；
14
解：∵∠ABC＋∠ADC＝360°－(α＋β)，
∴∠MBC＋∠NDC＝180°－∠ABC＋180°－∠ADC＝α＋β＝100°.
(2)如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝40°，请求α，β所满足的数量关系式，并说明理由；
解：β－α＝80°.
理由：如图，连接BD.
(3)如图②，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
解：平行．
理由：如图，延长BC交DF于H，
请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图①，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝________．
15
125°
(2)探究2：如图②，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．
(3)拓展：如图③，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A＋∠D＝α.
①求∠BPC与α的数量关系；
②根据α的值的情况，判断△BPC的形状．(按角分类)
解：当0°＜α＜180°时，△BPC是钝角三角形；
当α＝180°时，△BPC是直角三角形；
当α＞180°时，△BPC是锐角三角形．
