1.1.1集合的含义-学案（Word版）

1.1　集合的概念
第一课时　集合的含义-学案
课标要求 素养要求
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
自主梳理
1.元素与集合的概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
集合中的元素具有如下三个特性：
(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．　　　
2.元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A a A “a不属于A”
3.常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)漂亮的花可以组成集合.(×)
提示　“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)
提示　由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.
(3)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)
提示　集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
2.(多选题)下列所给的对象能构成集合的是(　　)
A.所有的平行四边形
B.花园中所有漂亮的花
C.接近的所有实数
D.2020年新冠肺炎疫情期间，山东省驰援武汉的所有医护人员
答案　AD
解析　A、D中的对象是确定的，可以构成集合；而B、C中的对象是不确定的，不能构成集合，这是因为“漂亮”“接近的实数”的标准不明确.
3.(多选题)已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为(　　)
A.1 B.－1
C.0 D.2
答案　AB
解析　由集合中元素具有互异性，故a2≠1，即a≠±1.
4.给出下列说法：
①在一个集合中可以找到两个相同的元素；
②好听的歌能组成一个集合；
③高一(1)班所有姓氏能构成集合；
④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　①错误，集合中的元素是互不相同的；②错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合.
③正确，高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合.
④错误，因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合.
题型一　集合概念的理解
【例1】　考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2021年在校的所有矮个子同学；
(4)的近似值的全体.
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
思维升华　判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
【训练1】　(1)下列给出的对象中能构成集合的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.著名的物理学家 B.很大的数
C.聪明的人 D.小于3的实数
(2)下列各组对象可以构成集合的是(　　)
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)只有选项D有明确的标准，能构成一个集合.
(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.
题型二　元素与集合的关系
【例2】　(1)(多选题)由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则(　　)
A.a∈A B.a2∈A
C.∈A D.a＋1∈A
(2)给出下列关系：①∈R；②|－3| N；③|－|∈Q；④0 N.其中正确的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　(1)ACD　(2)A
解析　(1)a＝＋<＋＝4<5，所以a∈A.
a＋1<＋＋1＝5，所以a＋1∈A.
a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2>5，所以a2 A.
＝＝＝－<5，
所以∈A.
(2)①正确；②③④不正确.
思维升华　判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【训练2】　(1)给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a Z；
③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A.a∈M B.a M
C.a＝M D.a≠M
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵<2，∴a M.
题型三　元素特性的应用
【例3】　已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，
故a＝－1应舍去.
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性.∴a＝－.
思维升华　利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
【训练3】　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值.
解　因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合要求.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定；若研究对象不确定，则不能构成集合.
2.某一元素与集合A的关系是确定的，要么a∈A，要么a A，二者必居其一.
3.求集合中字母参数的值时，一定要检验所得参数值是否满足集合中元素的互异性.