1.3.2补　集-学案（Word版）

第二课时　补　集-学案
课标要求 素养要求
1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养.
自主梳理
全集、补集的概念
(1)全集
①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
符号 UA有三层意思：
(1)A是U的子集，即A U；(2) UA表示一个集合，且( UA) U；(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√)
(2)存在x0∈U，x0 A，且x0 UA.(×)
提示　要么x0∈A，要么x0∈ UA，且有且只有一个成立.
(3)设全集U＝R，A＝，则 UA＝.(×)
提示　A＝{x|0(4)设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则 UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}.(×)
提示　全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的 UA是错误的.
2.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则 UA＝(　　)
A.{1，2} B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5} D.
答案　B
解析　∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴ UA＝{3，4，5}.
3.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则 UA＝(　　)
A.{x|x<1} B.{x|x≤1}
C.{x|x>1} D.
答案　A
解析　由补集的定义，结合数轴可得 UA＝{x|x<1}.
4.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则 U(A∪B)＝________.
答案　{5}
解析　∵A∪B＝{1，2，3，4}，∴ U(A∪B)＝{5}.
题型一　补集的基本运算
【例1】　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则 UM＝(　　)
A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a＝________.
答案　(1)A　(2)2
解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知
UM＝{x|－2≤x≤2}.
(2)由题意可知解得a＝2.
思维升华　求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________.
答案　(1){x|x＝－3或x>4}　(2)－3
解析　(1)借助数轴得 UA＝{x|x＝－3或x>4}.
(2)∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
题型二　集合交、并、补的综合运算
【例2】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图.
则 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3或2所以A∩B＝{x|－2( UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}；
A∩( UB)＝{x|2思维升华　1.求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.
【训练2】　已知集合S＝{x|1求：(1)( SA)∩( SB)；(2) S(A∪B)；(3)( SA)∪( SB)；(4) S(A∩B).
解　(1)如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
SA＝{x|1 SB＝{x|1由此可得：(1)( SA)∩( SB)＝{x|1(2) S(A∪B)＝{x|1(3)( SA)∪( SB)＝{x|1(4) S(A∩B)＝{x|1题型三　根据补集的运算求参数的值或范围
角度1　相关R概念的探究
【例3－1】　如果a∈ UB，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈(A∩( UB))”意味着什么？
解　如果a∈ UB，那么a B；“a∈(A∩( UB))”意味着a∈A且a B.
角度2　补集的概念及其应用
【例3－2】　设全集U＝R，是否存在元素a，使得a∈A且a∈ UA？若集合A＝{x|－2解　不存在a，使得a∈A且a∈ UA；若A＝{x|－23}.
角度3　已知集合运算(关系)求参数值(范围)
【例3－3】　(1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩( UA)＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；
(2)已知集合A＝{x|2a－2解　(1)∵B∩( UA)＝{2}，∴2∈B，但2 A.
∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A，但4 B.
∴解得
∴a，b的值分别为，－.
(2) RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ .
∵A? RB，
∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论.
①若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠ ，则有或∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
思维升华　由集合的补集求解参数的方法
(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
【训练3】　(1)设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}， UA＝{5}，则实数a的值为________.
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若 UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
答案　(1)2　(2)7
解析　(1)∵ UA＝{5}，∴5∈U，且5 A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}，符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
不满足条件 UA＝{5}，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.
(2)∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，
∴ UA＝{x|xb}.
又∵ UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.
1.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈ UA二者必居其一.
2.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.