1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定-学案（Word版）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定-学案
课标要求 素养要求
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
自主梳理
1.命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
2.全称量词命题的否定
全称量词命题p： x∈M，p(x)，
它的否定綈p： x∈M，綈p(x).
全称量词命题的否定是存在量词命题.
3.存在量词命题的否定
存在量词命题p： x∈M，p(x)，
它的否定綈p： x∈M，綈p(x).
存在量词命题的否定是全称量词命题.
(1)要否定全称量词命题“ x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立.
(2)要否定存在量词命题“ x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立.
即在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词.　　　
4.常见正面词语的否定举例如下：
正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个
自我检验
1.思考辨析，判断正误
(1)命题“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(×)
提示　应该是存在量词命题.
(2)若命题綈p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题.(√)
2.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
答案　C
解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
3.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
答案　对任意的x∈R，2x>0
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题.
4.已知命题p： x>2，x－2>0，则綈p是________.
答案　 x>2，x－2≤0
题型一　全称量词命题的否定
【例1】　写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解　(1)是全称量词命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)是全称量词命题，其否定：存在一个圆不是轴对称图形.
(3)是全称量词命题，其否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)是全称量词命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
思维升华　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
【训练1】　写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解　(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二　存在量词命题的否定
【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p： x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解　(1)綈p： x>1，x2－2x－3≠0.(假).
(2)綈p：所有的素数都不是奇数.(假).
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).
思维升华　存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p： x∈M，p(x)成立 綈p： x∈M，綈p(x)成立.
【训练2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3) x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
(3)命题的否定是“ x，y∈Z，x＋y≠3”.
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题.
题型三　根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数
【例3】　已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题).
思维升华　1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.
【训练3】　已知命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝
－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型：是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
2.对于含有“至多”“至少”的命题，一般先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.