2.1.1不等关系与不等式-学案（Word版）

2.1　等式性质与不等式性质
第一课时　不等关系与不等式-学案
课标要求 素养要求
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小发展数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系.
2.关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a这个基本事实可以表示为
a>b a－b>0；
a＝b a－b＝0；
a3.一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)a不小于b可以表示为a>b.(×)
提示　a不小于b应表示为a≥b.
(2)若x－y>0，我们就说x大于y.(√)
(3)代数式x2＋1一定大于代数式2x.(×)
提示　∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，故错误.
2.(多选题)下面列出的不等式中，正确的是(　　)
A.a不是负数，可表示成a≥0
B.x不大于3，可表示成x<3
C.m与4的差是负数，可表示成m－4<0
D.x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0
答案　AC
解析　a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0.
3.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m.用不等式(组)表示为(　　)
A.v≤120 km/h 　B.d≥10 m
C.v≤120 km/h或d≥10 m 　 D.
答案　D
解析　两个条件同时成立，需用不等式组表示.
4.一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________.
答案　10y＋x>70
解析　该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
题型一　用不等式(组)表示不等关系
【例1】　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组).
解　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.
根据题意得：
思维升华　1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
【训练1】　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
题型二　实数(式)的比较大小
【例2】　已知a>0，试比较a与的大小.
解　因为a－＝＝，a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当0思维升华　作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形：
①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.
第二步：判断差值与零的大小关系.
第三步：得出结论.
【训练2】　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)，
∵＋>0，x－1<0，
∴(x－1)<0，
∴x3－1<2x2－2x.
题型三　不等关系的实际应用
【例3】　为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案.
解　因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，
则
解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取正整数，
∴x的取值是18，19，20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.
思维升华　1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式.
2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式.
【训练3】　在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？
解　比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少.共用书籍130×18＋90×12＝3 420(本).
1.用不等式(组)表示不等关系，要注意不等式与不等关系的对应，不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围.
2.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.