2.1.2等式性质与不等式性质-学案（Word版）

第二课时　等式性质与不等式性质-学案
课标要求 素养要求
1.掌握不等式的基本性质. 2.运用不等式的性质解决有关问题. 通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.等式的性质
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2.不等式的性质
性质1　如果a>b，那么bb.即a>b b性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c a>c.
性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
(1)在应用性质2时，如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去.如由a≥b，b>c不能得到a≥c，只能得到a>c.
(2)在应用性质4时，要特别注意c的符号.当c≠0时，有a>b ac2>bc2；若没有“c≠0”这个条件，则“a>b ac2>bc2”是错误的.
(3)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.如性质5要求两个不等式为同向不等式，性质6要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正，性质7要求不等式两边同为正数且n∈N，n≥2.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)a>b ac2>bc2.(×)
提示　当c＝0时，不成立.
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示　相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系.
(3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√)
2.(多选题)已知a>b>0，则(　　)
A.ac2>bc2 B.a2>b2
C.< D.a＋c>b＋c
答案　BCD
解析　选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，不成立，其余选项都成立.
3.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b
答案　C
解析　由a＋b>0知，a>－b，∴－a又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
4.若1答案　－4<2x－y<0
解析　由1两式相加得－4<2x－y<0.
题型一　利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】　(1)(多选题)已知实数a，b，c满足cA.ab>ac B.c(b－a)>0
C.ac(a－c)<0 D.cb2(2)给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a其中真命题的序号是________.
答案　(1)ABC　(2)①③
解析　(1)因为c0，所以ab>ac，故A成立；又b－a<0，故c(b－a)>0，故B成立；而a－c>0，ac<0，故ac(a－c)<0，故C成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2(2)对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以am＋ab所以0又>0，所以<，③正确.
综上，真命题的序号是①③.
思维升华　不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】　设a>b>0，cA.ac>bd B.<
C.> D.ac2答案　B
解析　a>b>0，c－d>0，
则有－ac>－bd>0，即ac由cd>0，又ac由－c>－d>0，－ac>－bd>0，
可得ac2>bd2，则D错.故选B.
题型二　利用不等式的性质证明不等式
【例2】　若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
证明　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).
又bd>0，两边同除以bd得，≤.
思维升华　1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】　(1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac(2)a证明　(1)因为a>b，c>0，
所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f(2)由于－＝＝，
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
题型三　利用不等式的性质求范围
【例3】　已知1解　∵3∴1－4又<<，∴<<，即<<2.
思维升华　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
【训练3】　已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.
解　∵－<α<，－<β<，
∴－<－β<.∴－π<α－β<π.
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π.
1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要注意不等式成立的条件.不要弱化条件，尤其是不能凭空捏造性质.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.