2.2.2基本不等式的应用-学案（Word版）

第二课时　基本不等式的应用-学案
课标要求 素养要求
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
自主梳理
基本不等式与最大(小)值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(1)利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各项必须为正.
②二定：各项之和或各项之积为定值.
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
(2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)对于实数a，b，若a＋b为定值，则有最大值.(×)
提示　a，b为正实数.
(2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)
提示　a，b为正实数.
(3)若x>2，则x＋的最小值为2.(×)
提示　当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2.
2.(多选题)下列不等式正确的是(　　)
A.a＋≥2 B.a2＋≥2
C.－|a|－≤－2 D.a3＋≥2
答案　BC
解析　当a<0时，a＋<2，故选项A错误；由基本不等式a2＋≥2成立，故选项B正确；由－|a|－≤－2得|a|＋≥2，由基本不等式知|a|＋≥2成立，故选项C正确；当a<0时，a3＋≤－2，故选项D错误.故选BC.
3.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
答案　2
解析　a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立.
4.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
答案　50
解析　由m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立.
题型一　基本不等式的简单应用
【例1】　(1)已知x>2，求x＋的最小值；
(2)已知＋＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.
解　(1)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥
2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·
＝4＋2≥4＋4＝8.当且仅当＝，
即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8.
思维升华　利用基本不等式求最值的策略
【训练1】　(1)若x<0，求＋3x的最大值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
解　(1)因为x<0，所以＋3x
＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12.
(2)法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，
即x＝12时，等号成立.∴x＋y的最小值是18.
法二　由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当＝，
即x＝2y＝12时等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
题型二　基本不等式的实际应用
【例2】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积y关于x的函数的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.
则y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1).
(2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝
5 760.当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.
思维升华　利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【训练2】　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
题型三　基本不等式的灵活应用
角度1　“1”的代换、消元、构造定值法求最值
【例3－1】　已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.
答案　16
解析　法一(1的代换)
因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x>0，y>0，
所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x　①时，取“＝”.
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法二(消元法)　由＋＝1，得x＝.
因为x>0，y>0，所以y>9.
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝
(y－9)＋＋10.
因为y>9，所以y－9>0，
所以(y－9)＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法三(构造定值)　因为x>0，y>0，且＋＝1，
所以x>1，y>9.
由＋＝1，得y＋9x＝xy xy－9x－y＋9－9＝0 (x－1)(y－9)＝9(定值).
所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝2×3＋10＝16.
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值是16.
角度2　配凑——代换求最值
【例3－2】　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.
答案　
解析　正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.
角度3　利用基本不等式解决恒成立问题
【例3－3】　已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
答案　B
解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
思维升华　利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.
(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.
【训练3】　(1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是(　　)
A.2 B.3－2
C.3＋2 D.3＋
(2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是(　　)
A.3＋2 B.3－2
C.6－4 D.6＋4
(3)求x(m－x)(0答案　(1)C　(2)D
解析　(1)＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.
(2)＋＋＝(a＋2b＋c)
＝4＋＋＋＋＋＋
≥4＋2 ＋2 ＋2 ＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立.
(3)解　∵00，m－x>0.
∴x(m－x)≤＝.
当且仅当x＝m－x时，即x＝时，x(m－x)(01.利用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当变形.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和待求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积.
其中通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常见的变形方法有拆、并、配.
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创设条件.
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后的和式中各部分相乘后为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
注意　①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到；②分式形函数及含有两个变量的函数或代数式，适合用基本不等式求最值.