2.3.1一元二次不等式的解法-学案（Word版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第一课时　一元二次不等式的解法-学案
课标要求 素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
自主梳理
1.一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
解集 ax2＋bx＋c>0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c<0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
(1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.
(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.　　　
2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)
提示　当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式.
(2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×)
提示　x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.
(3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√)
2.(多选题)下列所给的关于x的不等式中一定为一元二次不等式的是(　　)
A.3x＋4<0 B.x2＋mx－1>0
C.ax2＋4x－7>0 D.x2<0
答案　BD
解析　由于a可能为0，故ax2＋4x－7>0不一定是一元二次不等式，x2＋mx－1>0，x2<0一定是二次不等式，3x＋4<0是一次不等式，故选BD.
3.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案　{x|x>3或x<－2}
4.不等式x2<2的解集是________.
答案　{x|－解析　由x2<2得(x－)(x＋)<0，解得－题型一　解不含参数的一元二次不等式
【例1】　解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
思维升华　解不含参数的一元二次不等式的方法
(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.
(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.
【训练1】　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
解　(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为 .
题型二　解含参数的一元二次不等式
角度1　对判别式Δ进行讨论
【例2－1】　解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
解　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ<0，即－4(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1.
(3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0，
∴xx2.
综上，当－4当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
角度2　对根的大小进行讨论
【例2－2】　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).
解　原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a<－1＋a，
即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a>－1＋a，
即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.
角度3　对二次项系数进行讨论
【例2－3】　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为.
思维升华　对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.
【训练2】　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为.
题型三　三个“二次”之间的关系
【例3】　已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解　(1)由题意知不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，且a<0，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以不等式的解集为.
思维升华　应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
【训练3】　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
1.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
(3)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
2.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.