2.3.2一元二次不等式的应用-学案（Word版）

第二课时　一元二次不等式的应用-学案
课标要求 素养要求
1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
自主梳理
1.简单的分式不等式的解法
2.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√)
(2)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}.(×)
提示　分式不等式中的分母不等于0，解集为{x|x>1或x≤0}.
(3)不等式<0的解集为{x|－1提示　注意先将x的系数化为正再解不等式，解集为{x|x<－1或x>1}.
2.不等式≤0的解集为________.
答案　
解析　原不等式等价于
即即－3.已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为________.
答案　
解析　由题意知Δ<0，即1－4k<0，
得k>，即k的取值范围为.
4.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b所在的范围应是________.
答案　{b|90解析　设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为
(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，
即a2－10a<0，得0∴售价b所在的范围应为90题型一　简单分式不等式的解法
【例1】　解不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴即－故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
思维升华　简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
【训练1】　解下列不等式.
(1)≥0；(2)>1.
解　(1)原不等式可化为
解得∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
题型二　不等式恒成立问题
角度1　在R上恒成立问题
【例2－1】　若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A.{k|－3C.{k|－3≤k≤0} D.{k|－3答案　D
解析　∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则必有解得－3角度2　在给定范围内的恒成立问题
【例2－2】　设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为，∴只需m<即可.
∴m的取值范围为.
思维升华　(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
【训练2】　对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
答案　{a|－2解析　由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2题型三　一元二次不等式的实际应用
【例3】　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0思维升华　(1)设未知数，列一元二次不等式；
(2)化成标准形式：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a>0；
(3)解方程ax2＋bx＋c＝0；
(4)画出函数y＝ax2＋bx＋c；
(5)借助图象求一元二次不等式的解集，并合理取舍；
(6)下结论，写明答案，注意有无单位.
【训练3】　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解　(1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0所以投入成本增加的比例x的取值范围为
.
1.对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.
3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.