3.1.1.1函数的概念-学案（Word版）

3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念-学案
第一课时　函数的概念(一)
课标要求 素养要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养. 2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
自主梳理
函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
(1)理解函数的概念抓住两点：①可以“多对一”、“不可一对多”；②集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余.
(2)对应关系f是函数的本质特征，好比是计算机中的程序，当f(　)的括号中输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值，如f(x)＝2x＋3，f表示“自变量的2倍加上3”，故f(4)＝2×4＋3＝11.
(3)对于“f(x)”中的“x”，即可以是一个数，也可以是一个代数式.　　　
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)
提示　函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1.
(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)
提示　根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)
提示　在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
2.下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是(　　)
答案　D
解析　选项D中，对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义.
3.函数y＝的定义域是________.
答案　{x|x≥1}
解析　只需满足x－1≥0，∴x≥1.
4.若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.
答案　7
解析　f(3)＝9－＝9－2＝7.
题型一　函数关系的判断
角度1　给出三要素判断是否为函数
【例1－1】　(多选题)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是(　　)
A.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|
B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D.A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0
答案　ABD
解析　选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数.
选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.
选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
角度2　给出图形判断是否为函数图象
【例1－2】　下列图形中不是函数图象的是(　　)
答案　A
解析　A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义.
思维升华　1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法
【训练1】　(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是{y|0≤y≤2}，故选B.
(2)只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.
题型二　求函数值
【例2】　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值.
解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
思维升华　求函数值的方法及关注点
方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；
②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
【训练2】　已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].
解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)∵f(1)＝＝，
∴f[f(1)]＝f＝＝.
题型三　求函数的定义域
角度1　求具体函数的定义域
【例3－1】　求下列函数的定义域：
(1)y＝(x－1)0＋；
(2)y＝＋.
解　(1)要使函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.
角度2　求抽象函数的定义域
【例3－2】　已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A.{x|－1≤x≤9} B.{x|－3≤x≤7}
C.{x|－2≤x≤1} D.
答案　D
解析　∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}.
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤.
即函数f(2x＋1)的定义域为.
角度3　求实际问题中函数的定义域
【例3－3】　如图所示，用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数.
解　由题意知，AB＝2x，的长为πx，
于是AD＝，
∴y＝2x·＋，即y＝－x2＋x.
由解得0∴所求函数的定义域为.
故所求的函数为y＝－x2＋x.
思维升华　求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.
【训练3】　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.
B.{x|x>1}
C.
D.
(2)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则 RM为(　　)
A.{x|x>2} B.{x|x<2}
C.{x|x≤2} D.{x|x≥2}
(3)已知函数f(x＋2)的定义域为{x|－2A.{x|0C.{x|1答案　(1)C　(2)A　(3)C
解析　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得
即x≥且x≠1，故选C.
(2)自变量x的取值必须满足2－x≥0，即x≤2，
∴M＝{x|x≤2}，∴ RM＝{x|x>2}，故选A.
(3)由题意知－21.判断给定的对应关系是不是函数关系时，一般可以从两个方面来考虑：①给定的两个集合A，B是非空数集，并且A中的元素没有剩余；②对应的形式只能是“一对一”或 “多对一”.
2.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.