3.1.1.2函数的概念-学案（Word版）

第二课时　函数的概念(二)-学案
课标要求 素养要求
1.会判断两个函数是否为同一函数. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的值域. 1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养. 2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养.
自主梳理
1.区间
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.常见函数的值域
(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为，
当a<0时，值域为.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√)
(2)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×)
提示　两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同.
(3)函数y＝1＋x2的值域为(1，＋∞).(×)
提示　y＝1＋x2的值域为[1，＋∞).
2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)
x x<2 2≤x≤3 x>3
y －1 0 1
A.{y|－1≤y≤1} B.R
C.{y|2≤y≤3} D.{－1，0，1}
答案　D
解析　由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D.
3.(多选题)下列函数是同一函数的是(　　)
A.f(x)＝x，g(x)＝()2
B.f(x)＝x，g(x)＝
C.f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)
D.f(x)＝x2＋3x－1，g(t)＝t2＋3t－1
答案　BD
解析　选项A中的两个函数的定义域不同；选项C中的两个函数的对应关系不同，选项BD中的函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数.
4.区间[1，2)表示的集合为________.
答案　{x|1≤x<2}
解析　根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}.
题型一　区间的应用　
【例1】　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|0解　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；(3){x|－1思维升华　用区间表示数集的方法：
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
【训练1】　(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.
(2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.
答案　(1)[0，2)∪(2，＋∞)　(2)(－1，＋∞)
解析　(1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞).
(2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞).
题型二　同一函数的判断
【例2】　(1)下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一函数的是________(填序号).
答案　⑤
解析　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数.
(2)试判断函数y＝·与函数y＝是否为同一函数，并说明理由.
解　不相同.对于函数y＝·，由解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数.
思维升华　判断两个函数为同一函数应注意的三点：
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
【训练2】　(1)下列各组函数是同一函数的是(　　)
A.y＝1，y＝
B.y＝·，y＝
C.y＝|x|，y＝()2
D.y＝x，y＝
(2)下列各组函数是同一函数的是________(填序号).
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x0与g(x)＝；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
答案　(1)D　(2)②③
解析　(1)A，B，C中的两函数定义域均不相同，故选D.
(2)①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数.
题型三　求函数的值域
【例3】　求下列函数的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
解　(1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，∴y＝－1的值域为[－1，＋∞).
(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，∴把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}.
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(4)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为.
思维升华　求函数值域的常用方法
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.
(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
【训练3】　求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；
(3)y＝；
(4)y＝2x＋4.
解　(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0，4].
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].
(3)(分离常数法)∵y＝＝1－，
且定义域为{x|x≠－1}，
∴≠0，即y≠1.
∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}.
(4)(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
1.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.
2.同一函数的概念的理解
(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.