中小学教育资源及组卷应用平台
课时24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
( http: / / www.21cnjy.com )
典例1．（2020·莆田市九年级期中）如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【详解】
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选C．
变式1-1．（2020·浙江镇海区九年级期中）如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则 ( )21·世纪*教育网21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据垂径定理可得出CE的长 ( http: / / www.21cnjy.com )度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
变式1-2．（2020·河北九年级期中）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．【出处：21教育名师】
【详解】
解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．21世纪教育网版权所有
变式1-3．（2020·南通市九年级期中）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【详解】
试题提示：连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4.21*cnjy*com【来源：21·世纪·教育·网】
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：垂径定理；勾股定理．
变式1-4．（2020·河北石家庄市·九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【名师点拨】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
典例2．（2020·广东九年级期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【提示】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【名师点拨】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
变式2-1．（2021·宁夏吴忠市·九年级期末）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【答案】C
【提示】
先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.
【详解】
解：如图, ( http: / / www.21cnjy.com )
设E、F为AB、CD的中点，
AE=AB=24=12,
CF=CD=10=5,
OE===5,
OF===12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.
典例3．（2020·湖北武汉市·九年级期中）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．13寸 B．26寸
C．18寸 D．24寸
【答案】B
【提示】
根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com )
连接OA，
由垂径定理可知，点E是弦AB的中点，
设半径为r，由勾股定理得，
即
解得：r=13
所以CD=2r=26，
即圆的直径为26，
故选B．
【名师点拨】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.
变式3-1．（2020·安 ( http: / / www.21cnjy.com )徽合肥市·九年级期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B． C． D．
【答案】C
【提示】
作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得C ( http: / / www.21cnjy.com )D=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【名师点拨】
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
变式3-2．（2020·浙江宁波市·九年级期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【提示】
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取M ( http: / / www.21cnjy.com )N上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．21*cnjy*com
【详解】
如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
【名师点拨】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式3-3．（2020·南通市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4m B．5m C．6m D．8m
【答案】D
【详解】
试题提示：连接OA，根据垂径定理可 ( http: / / www.21cnjy.com )得AB=2AD，根据题意可得：OA=5m，OD=CD－OC=8－5=3m，根据勾股定理可得：AD=4m，则AB=2AD=2×4=8m.
变式3-4．（2020·河北 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0．8米，最深处水深0．2米，则此输水管道的直径是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0．5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】
试题提示：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD=AB=×0.8=0.4米，设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r﹣0.2）2，解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
典例4．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°
【答案】A
【提示】
分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行提示即可．
【详解】
解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，
∴AF=BF，，∠DBC=90°，
∴B、C、D正确；
∵点F不一定是OC的中点，
∴A错误．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
变式4-1．（2020·河北保定市·九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．弧AE=弧BE D．OD=DE
【答案】D
【提示】
由垂径定理和圆周角定理可证，AD＝BD，AD＝BD，AE＝BE，而点D不一定是OE的中点，故D错误．
【详解】
∵OD⊥AB，∴由垂径定理知,点D是AB的中点,有AD＝BD,＝，∴△AOB是等腰三角形，OD是∠AOB的平分线，有∠AOE＝12∠AOB，由圆周角定理知,∠C＝12∠AOB，∴∠ACB＝∠AOE，故A、 B、C正确，而点D不一定是OE的中点，故错误.故选D.【出处：21教育名师】
【名师点拨】
本题主要考查圆周角定理和垂径定理，熟练掌握这两个定理是解答此题的关键.
1．（2020·山东九年级期中）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【提示】
连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【详解】
连接OA，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
2．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【详解】
试题解析：
∵点C是 的中点，
故选A.
名师点拨：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
【答案】C
【提示】
连接OA，根据垂径定理，求出AD，根据勾股定理计算即可．
【详解】
连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=4，
由勾股定理得，OA==5，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．（2020·江苏苏州市·九年级期中）一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
连结，，设半径为r，根据垂径定理得 ，在中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
【详解】
连结，，如图，设半径为，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵，，
∴，点、、三点共线，
∵，
∴，
在中，
∵，，
即，
解得，
故选B.
【名师点拨】
本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
5．（2020·广东江门市·九年级期中）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【详解】
过点O作OC⊥AB，垂足为C，则有AC=AB=×24=12，在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=13， ∴OC==5，即点O到AB的距离是5.21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·河南九年级期中）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
解：连接OA，设CD=x，∵OA=O ( http: / / www.21cnjy.com )C=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2，∴x=2，∴CD=2，故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
名师点拨：本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
7．（2020·湖北黄冈市·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．8 C． D．
【答案】D
【详解】
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4．
设⊙O的半径为r，则OC=r－2，
在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r－2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5．
∴AE=2r=10．
连接BE，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴．
在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴．故选D．
8．（2020·云南红河哈尼族彝族 ( http: / / www.21cnjy.com )自治州·九年级期末）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【详解】
解：过点O作OM⊥AB，垂足为M
∵OM⊥AB，AB=12
∴AM=BM=6
在Rt△OAM中，OM=
所以8≤OM≤10
故选C．
9．（2020·山东临沂市·九年级期中）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
由M（0，-4），N（0，-10）， ( http: / / www.21cnjy.com )即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．
【详解】
解：∵M（0，-4），N（0，-10），
∴MN=6，
连接PM，过点P作PE⊥MN于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴ME=NE=MN=3，
∴OE=OM+EM=4+3=7，
在Rt△PEM，PE==4，
∴圆心P的坐标为（4，-7）．
故选C．
【名师点拨】
此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．【版权所有：21教育】
10．（2020·山东德州市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【提示】
连接OC，如图所示，由直 ( http: / / www.21cnjy.com )径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
11．（2020·山东泰安市九年级期末）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】．
【提示】
连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】
解：解：连接OA，设半径为x，
( http: / / www.21cnjy.com )
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．21教育网www.21-cn-jy.com
【名师点拨】
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
12．（2020·金昌市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】4
【提示】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【名师点拨】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
13．（2020·河南南阳市·九年级期末）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】26．
【提示】
设的半径为，在中，，则有，解方程即可.
【详解】
设的半径为．
在中，，
则有，
解得，
∴的直径为26寸，
故答案为26．
( http: / / www.21cnjy.com )
【名师点拨】
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
14．（2020·宁津县九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．www.21-cn-jy.com21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【详解】
解：设半径为R，则有：大正方形边长是a，则有
考点：本题考查了圆的性质
点评：此类试题属于难度较大的试题主要考查了考生对圆的性质的基本定理的考查了和基本性质的运算
15．（2020·天津河北区·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】3
【提示】
过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．2·1·c·n·j·y21cnjy.com
【详解】
解：过点O作OH⊥CD于H，
( http: / / www.21cnjy.com )
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【名师点拨】
此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
16．（2020·浙江宁波市·九年级期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．21教育网
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣．
【提示】
（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
【名师点拨】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2020·宁波市九年级期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．21·cn·jy·com【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）r=34；（2）不需要采取紧急措施．
【详解】
试题提示：（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
试题解析：（1）连结OA，
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意得：AD=AB=30，OD=（r-18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r-18）2，
解得，r=34；
（2）连结OA′，
∵OE=OP-PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，
解得：A′E=16．
∴A′B′=32．
∵A′B′=32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
名师点拨：应用垂径定理时，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此类题的关键．
( http: / / www.21cnjy.com )
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
课时24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
( http: / / www.21cnjy.com )
典例1．（2020·莆田市九年级期中）如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．4 C． D．8
变式1-1．（2020·浙江镇海区九年级期中）如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则 ( )21世纪教育网版权所有21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
变式1-2．（2020·河北九年级期中）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）21·世纪*教育网21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
变式1-3．（2020·南通市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）www-2-1-cnjy-com21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 cm B．4cm C．5cm D．6cm
变式1-4．（2020·河北石家庄市·九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
典例2．（2020·广东九年级期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是 【版权所有：21教育】2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B．6 C．7 D．8
变式2-1．（2021·宁夏吴忠市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）21*cnjy*com【来源：21·世纪·教育·网】
A．7 B．17 C．7或17 D．34
典例3．（2020·湖北武汉市·九年级期中）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（ ）21教育名师原创作品www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．13寸 B．26寸
C．18寸 D．24寸
变式3-1．（2020·安徽合肥市 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B． C． D．
变式3-2．（2020·浙江宁波市·九年级期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
变式3-3．（2020·南通市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）www.21-cn-jy.com【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4m B．5m C．6m D．8m
变式3-4．（2020·河北九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0．8米，最深处水深0．2米，则此输水管道的直径是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0．5 B．1 C．2 D．4
典例4．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（ ）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°
变式4-1．（2020·河北保定市·九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是( )【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．弧AE=弧BE D．OD=DE
1．（2020·山东九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）2·1·c·n·j·y21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
4．（2020·江苏苏州市·九年级期中）一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
5．（2020·广东江门市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2020·河南九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．2.5 C．2 D．1
7．（2020·湖北黄冈市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．8 C． D．
8．（2020·云南红河哈尼族彝 ( http: / / www.21cnjy.com )族自治州·九年级期末）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）【出处：21教育名师】21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B．7 C．9 D．11
9．（2020·山东临沂市·九年级期中）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
10．（2020·山东德州市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
11．（2020·山东泰安市九年级期末）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2020·金昌市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2020·河南南阳市·九年级期末）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2020·宁津县九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2020·天津河北区·九年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2020·浙江宁波市·九年级期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．（2020·宁波市九年级期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．21*cnjy*com
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
