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课时24.1.3 弧、弦、圆心角
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等21教育网21世纪教育网版权所有
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典例1．（2020·哈尔滨市九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）21·世纪*教育网21cnjy.com
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A．51° B．56° C．68° D．78°
变式1-1．（2020·陕西西安市九年级期末）如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）2-1-c-n-j-y21·cn·jy·com
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A．32° B．60° C．68° D．64°
变式1-2．（2020·福建 ( http: / / www.21cnjy.com )泉州五中九年级期中）如图，AB 是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于 （ ）21*cnjy*comwww.21-cn-jy.com
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A．100° B．110° C．120° D．135°
变式1-3．（2020· ( http: / / www.21cnjy.com )福建福州市·九年级期中）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】www-2-1-cnjy-com
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A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
变式1-4．（2020·扬州市九年级期中）如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ ）度.21教育名师原创作品【来源：21cnj*y.co*m】
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A．74 B．106 C．117 D．127
变式1-5．（2020·德州市期末）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）21*cnjy*com【出处：21教育名师】
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A．38° B．52° C．76° D．104°
变式1-6．（2020·白云区九年级期中）如图在中，若点是的中点，，则（ ）．
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A． B． C． D．
变式1-7．（2020·湖北黄石市·九年级期末）如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
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A． B． C． D．
典例2．（2020·甘州区九年级期末）已知，如图，，下列结论不一定成立的是（ ）
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A． B．
C． D．都是等边三角形
变式2-1．（2020·长沙市九年级期末）是四边形的外接圆，平分，则正确结论是（ ）
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A． B．
C． D．
变式2-2．（2020·福建厦门市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知…求证…”的形式，下列正确的是（ ）
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A．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC
B．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD
C．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC
D．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD
变式2-3．（2021·山东潍坊市期末）如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）21世纪教育网版权所有21教育网
①；②；③；④
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-4．（2021·山东九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）21cnjy.com【来源：21·世纪·教育·网】
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE
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A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
变式2-5．（2021·山东九年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等
1．（2021·珠海市九年级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为( )2·1·c·n·j·y21·世纪*教育网
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A．65° B．70° C．75° D．80°
2．（2021·广西九年级期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
3．（2021·云南九年级期末）如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】2-1-c-n-j-y
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A．20° B．25° C．30° D．35°
4．（2020·东莞市九年级期中）下列说法正确的是( )
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
5．（2020·山东省昌乐县年级月考）如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是( )
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A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD D．∠DFB＝75°
6．（2020·杭州市九年级期中）如图，是的直径，，， 则的度数是（ ）．
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A．52° B．57° C．66° D．78°
7．（2020·江西九年级期中）如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
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A．150° B．75° C．60° D．15°
8．（2020·鞍山市九年级期末）如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
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A．60° B．40° C．50° D．70°
9．（2020·福建厦门市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
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A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CD
B．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BC
C．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BC
D．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD
10．（2020·重庆璧山区·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，，，则＝（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
11．（2020·山东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
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12．（2019·内蒙古九年级期末）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于_____度．21·cn·jy·com21*cnjy*com
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13．（2020·白银市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．www-2-1-cnjy-com【版权所有：21教育】
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14．（2020·河北九年级期中）如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．【出处：21教育名师】21教育名师原创作品
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15．（2020石家庄市九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度． 【版权所有：21教育】21*cnjy*com
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16．（2020·抚顺市九年级期中）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
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17．（2021·江苏九年级期中）如图,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝BE．www.21-cn-jy.com2·1·c·n·j·y
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教材知识链接
典例及变式
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课时24.1.3 弧、弦、圆心角
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 ( http: / / www.21cnjy.com )弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等【版权所有：21教育】www-2-1-cnjy-com
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典例1．（2020·哈尔滨市九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【详解】
如图，在⊙ O中，
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∵，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=.
故选A.
变式1-1．（2020·陕西西安市九年级期末）如图，是的直径，，若，则的度数是（ ）
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A．32° B．60° C．68° D．64°
【答案】D
【提示】
根据已知条件和圆心角、弧、弦的关系，可知，然后根据对顶角相等即可求解．
【详解】
，
．
，
，
，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、对顶角相等，较简单，掌握基本概念是解题关键．
变式1-2．（2020·福建泉州五 ( http: / / www.21cnjy.com )中九年级期中）如图，AB 是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于 （ ）
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A．100° B．110° C．120° D．135°
【答案】C
【详解】
解：连接OC、OD，
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∵BC=CD=DA，
∴∠COB=∠COD=∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，
∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，
，
故选：C．
变式1-3．（2020·福建福州市·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
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A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
【答案】C
【提示】
连接BC，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．
【详解】
连接BC，
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∵，
∴，
∴，
∴AC=BD，
故选C．
【名师点拨】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是根据弧与弦的关系得出．
变式1-4．（2020·扬州市九年级期中）如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（ ）度.
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A．74 B．106 C．117 D．127
【答案】D
【提示】
连接OB，进而得出∠AOB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AOC的度数．21·cn·jy·com
【详解】
连接OB，
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∵OA=OB，∠BAO=37°，
∴∠AOB=180°-2×37°=106°，
∵，
∴∠AOC=∠BOC=＝127°，
故选D．
【名师点拨】
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．21世纪教育网版权所有
变式1-5．（2020·德州市期末）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．38° B．52° C．76° D．104°
【答案】C
【提示】
根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【详解】
∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
变式1-6．（2020·白云区九年级期中）如图在中，若点是的中点，，则（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据圆的基本性质推出即可解决问题．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故选D．
【名师点拨】
此题考查的是圆的基本性质,掌握等弧所对的圆心角相等是解决此题的关键.
变式1-7．（2020·湖北黄石市·九年级期末）如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．
【详解】
连接OA，
∵OA=OB，∠B=37°
∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．
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故选A
【名师点拨】
本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．2-1-c-n-j-y【来源：21·世纪·教育·网】
典例2．（2020·甘州区九年级期末）已知，如图，，下列结论不一定成立的是（ ）
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A． B．
C． D．都是等边三角形
【答案】D
【提示】
由题意根据圆心角、弧、弦之间的关系，由∠AOB=∠COD，可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此进行提示判断即可．21教育名师原创作品【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：
，．
成立，D不成立．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，注意掌握三组量中，只要有一组相等，其余的都对应相等．
变式2-1．（2020·长沙市九年级期末）是四边形的外接圆，平分，则正确结论是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
【详解】
解：与的大小关系不确定，与不一定相等，故选项A错误；
平分，，，故选项B正确；
与的大小关系不确定，与不一定相等，选项C错误；
∵与的大小关系不确定，选项D错误；
故选B．
【名师点拨】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
变式2-2．（2020·福建厦门 ( http: / / www.21cnjy.com )市九年级期中）如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知…求证…”的形式，下列正确的是（ ）
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A．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC
B．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD
C．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC
D．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD
【答案】B
【提示】
根据命题的定义、结合图形解答．
【详解】
解：命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，
已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，
求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查的是命题与定理，命题写成“已知…，求证…”的形式，这时，“已知”后面接的部分是题设，“求证”后面解的部分是结论．
变式2-3．（2021·山东潍坊市期末）如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【提示】
如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】
解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．
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【名师点拨】
本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21教育网
变式2-4．（2021·山 ( http: / / www.21cnjy.com )东九年级期末）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）www.21-cn-jy.com
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE
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A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【提示】
根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】
解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE，，，
∴∠BOC=2∠A=40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
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∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
变式2-5．（2021·山东九年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等
【答案】B
【提示】
根据圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系进行判断即可．
【详解】
解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此说法错误，不符合题意；
B、相等的弧所对的圆心角相等，故此说法正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，故此说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，故此说法错误，不符合题意．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系是解题的关键．
1．（2021·珠海市九年级期中）如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为( )21cnjy.com21cnjy.com
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A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【提示】
先根据AE∥CD可得出 ，再由∠AOC=50°可得出∠DOE=50°，由平角的性质即可求出∠AOE的度数．21*cnjy*com2-1-c-n-j-y
【详解】
∵AE∥CD，
∴
∴∠AOC＝∠DOE，
∵∠AOC＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故选D．
【名师点拨】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据平行线的性质得出是解答此题的关键．
2．（2021·广西九年级期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【提示】
根据弦、弧与圆心角的关系逐一判断即可.
【详解】
A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项正确；
C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角 ( http: / / www.21cnjy.com )相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；【来源：21cnj*y.co*m】21*cnjy*com
故选B
【名师点拨】
本题考查弦、弧与圆心角的关系，此类试题难度不大，关键是掌握弦和圆心角等一些基本知识，容易混淆.
3．（2021·云南九年级期末）如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）21*cnjy*com
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A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【提示】
首先根据题意得出，然后得到，然后利用角度之间的关系求解即可．
【详解】
，
，
，
．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，准确识图并灵活运用相关知识是解题的关键．
4．（2020·东莞市九年级期中）下列说法正确的是( )
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】A
【提示】
根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．
【详解】
等弧所对的圆心角相等，A正确；
平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选A.
【名师点拨】
此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系
5．（2020·山东省昌乐县年级月考）如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD D．∠DFB＝75°
【答案】A
【解析】
试题提示：利用点C，D是的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系.2·1·c·n·j·y
解：∵点C，D是的三等分点，
∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，
∴选项B正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，
故选项D正确.
∴∠AEO=∠BFO，
在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，
∴△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴EC＝FD,故选项C正确.
在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE，同理BF=BD，
又∵AC=CD=BD，
∴CD=AE=BF，
∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，
∴EF∴CD=AE=BF>EF，故A错误.
故选A．
6．（2020·杭州市九年级期中）如图，是的直径，，， 则的度数是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．52° B．57° C．66° D．78°
【答案】C
【提示】
根据弧与圆心角的关系，即可求得∠BOC=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )COD=∠DOE=38°，得出∠BOE=114°，从而求得∠AOE=66°．21世纪教育网版权所有【版权所有：21教育】
【详解】
∵AB是⊙O的直径，，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=38°．
∴∠BOE=114°，
∴∠AOE=180°-114°=66°．www-2-1-cnjy-com21教育名师原创作品
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2020·江西九年级期中）如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．150° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【详解】
∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
8．（2020·鞍山市九年级期末）如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．60° B．40° C．50° D．70°
【答案】D
【提示】
先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【详解】
解：∵，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．
故选：D．
【名师点拨】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆的基本性质.
9．（2020·福建厦门市·九年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CD
B．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BC
C．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BC
D．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD
【答案】D
【提示】
根据命题的概念把原命题写成:“如果...求证...”的形式.
【详解】
解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相 ( http: / / www.21cnjy.com )等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD，AB=CD【出处：21教育名师】2·1·c·n·j·y
故选：D
【名师点拨】
本题考查命题，掌握将命题改写为“如果...求证...”的形式,是解题的关键.
10．（2020·重庆璧山区·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，，，则＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
【答案】C
【提示】
根据等弧所对的圆心角相等可得，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握同弧（等弧）所对的圆心角相等是解题的关键．
11．（2020·山东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】50°
【解析】
试题提示：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°
12．（2019·内蒙古 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于_____度．【来源：21·世纪·教育·网】21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】40．
【提示】
由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角 ( http: / / www.21cnjy.com )可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．21·世纪*教育网
【详解】
△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴，
∴∠BOC＝∠BOA＝40°，
故答案为40．
【名师点拨】
本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键.
13．（2020·白银市九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】68°
【提示】
根据∠AOE的度数求出劣弧的度数，得到劣弧的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，∴劣弧的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE102°=68°．
故答案为68°．
【名师点拨】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．21*cnjy*com
14．（2020·河北九年级期中）如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】20
【提示】
先根据旋转的性质得,则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC=∠AOB=20°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得解.
【详解】
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵将旋转n°得到,
∴
∴∠DOC=∠AOB=20°，
∴的度数为20度．
故答案为20．
【名师点拨】
本题考查了圆心角、弧、弦的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了旋转的性质．
15．（2020石家庄市九年级期末）如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】144
【提示】
根据在同圆中等弧对的圆心角相等进行提示即可．
【详解】
∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，
∴弧ABC：弧AmC=6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°，
故答案为144．
【名师点拨】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度是解题的关键．
16．（2020·抚顺市九年级期中）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【提示】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．21·世纪*教育网
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【名师点拨】
本题主要考查圆心角、弧、 ( http: / / www.21cnjy.com )弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
17．（2021·江苏九年级期中）如图,在⊙O中, ,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝BE．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】见解析.
【提示】
连接OC，先根据得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【详解】
连接OC，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE.
【名师点拨】
此题考查全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题关键在于证明三角形COD与三角形COE全等.
( http: / / www.21cnjy.com )
教材知识链接
典例及变式
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