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课时24.2.1 点与圆的位置关系
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 ( http: / / www.21cnjy.com ) 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
知识点二 三点定圆的方法
经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
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经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
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3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．21教育网
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三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．21cnjy.com
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.【出处：21教育名师】
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
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典例1．（2020·宁波市镇海区九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )21*cnjy*com
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【详解】
解：根据点到圆心的距离与半径的关系进行判定,由题目可求出点到圆心的距离d=OA=5,
∵d∴点A在圆内
故选B
变式1-1．（2020·河北沧州市·九年级期末）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【提示】
直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
点P在半径为5cm的圆内，
点P到圆心的距离小于5cm，
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；
故选A．
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系： ( http: / / www.21cnjy.com )点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．www-2-1-cnjy-com
变式1-2．（2020·福建九年级期中）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A．B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【提示】
根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可
【详解】
解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．
变式1-3．（2020·福州市九年级期中）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
【答案】C
【详解】
∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD==7，
PC==9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
【名师点拨】
点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
典例2．（2020·北京市九年级期末）一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )21*cnjy*comwww.21-cn-jy.com
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
【答案】B
【提示】
最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】
当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；
故选B．
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系，利用线段的和差得出直径是解题关键，分类讨论，以防遗漏．
变式2-1．（2020·杭州市期末）在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（ ）2-1-c-n-j-y
A．5 B．3 C．6 D．4
【答案】D
【提示】
由点P在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.
【详解】
解：∵点P在圆外
∴圆的直径为10-2=8
∴圆的半径为4
故答案为D.
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.
变式2-2．（2020·杭州市九年级期中）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）21*cnjy*com
A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6
【答案】B
【提示】
直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解.
【详解】
点在半径为的内，
小于，
而，
.
故选.
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.【出处：21教育名师】
变式2-3．（2020·厦门市九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
【答案】D
【提示】
先利用勾股定理计算出OP=5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．
【详解】
∵点P的坐标为（3，4），∴OP5．
∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞5．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．【来源：21cnj*y.co*m】
典例3．（2020·江苏九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】
∵的外心P到三个顶点的距离相等，
∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图，
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由图可知，点P的坐标为，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键．
变式3-1．（2020·宁波市期末）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）21教育名师原创作品
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【答案】A
【提示】
根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
【详解】
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
典例4（2020·山西九年级期末）在中，，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
由中，，可知，直角三角形的外接圆的半径为5，进而求出圆的面积.
【详解】
∵在中，，
∴，
∴直角三角形的外接圆的直径=10，即：面积=π×52=25π，
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查直角三角形的外接圆的面积，掌握直角三角形外接圆的直径是直角三角形的斜边，是解题的关键.
变式4-1．（2020·浙江宁波市期末）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2.4 C．2.5 D．5
【答案】C
【提示】
根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，斜边为外接圆直径，即可求得半径.
【详解】
∵
∴三角形为直角三角形，其外接圆直径为5，故其半径为2.5
故选：C
【名师点拨】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边是关键.
变式4-2．（2020·广东九年级期末）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．—1
【答案】B
【解析】
【提示】
由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此 ( http: / / www.21cnjy.com )可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【详解】
解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，
∴它的内切圆半径为：R=（2+2-4）=2-2．
故选：B．
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【名师点拨】
本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．21世纪教育网版权所有
变式4-3．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
【答案】C
【提示】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【详解】
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过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x==3.125．
故选C．【来源：21cnj*y.co*m】【版权所有：21教育】
【名师点拨】
本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
典例5．（2021·浙江绍兴市·九年级期末）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】
答：因为三角形的外心到三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
【名师点拨】
此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．
变式5-1．（2021·河北秦皇岛市·九年级期末）过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内 B．三角形上 C．三角形外 D．以上都有可能
【答案】C
【提示】
根据过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，再利用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形外心位置不同得出答案.
【详解】
过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，
当过锐角三角形三个顶点，圆心在三角形内部；
当过直角三角形三个顶点，圆心在三角形斜边上；
当过钝角三角形三个顶点，圆心在三角形外部.
故选：.
【名师点拨】
此题主要考查了三角形的外心位置确定的应用，根据三角形形状不同得出不同的结论是解题关键.
变式5-2．（2020·南通市期末）如图的的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（ ）
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A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心
【答案】B
【提示】
连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.21教育网
【详解】
连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，
∴OA==，
OB==，
OC==，
OD==，
∵OA=OB=OC=，
∴O为△ABC的外心，
故选B.
【名师点拨】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.
典例6．（2021·山东济 ( http: / / www.21cnjy.com )南市·九年级期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
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A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【提示】
根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.
【详解】
由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
【名师点拨】
本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
变式6-1．（2020·南京市九年级期中）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【答案】D
【详解】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解答：解：根据垂径定理的推论，则
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作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
变式6-2．（2021 温州市期末）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．点P B．点Q C．点R D．点M
【答案】B
【提示】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【详解】
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
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【名师点拨】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
1．（2021·江苏苏州市·九年级期末）的直径为，点与点的距离为，点的位置（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【答案】A
【提示】
由⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即可求得答案．
【详解】
∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选A．
【名师点拨】
此题考查了点与圆的位置关系．注意点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2021·山东省济南市九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
3．（2021·天津河西区·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【提示】
根据确定圆的条件依次判断即可．
【详解】
解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
【名师点拨】
本题考查确定圆的条件．注意过三点确定一个圆，要画一个圆需要知道它的圆心和半径．
4．（2021·江苏九年级期末）已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【提示】
根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
5．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，1为半径作，则（ ）【版权所有：21教育】21·世纪*教育网
A．点M在上． B．点M在内
C．点M在外． D．点M与的位置关系不能确定．
【答案】C
【提示】
利用勾股定理求出AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CM，然后根据点与圆的位置关系的判断方法即可得出结论．21教育名师原创作品
【详解】
解：如图所示
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∵在中，，，，
∴AB=
∵M是的中点，
∴CM=AB=＞1
∴点M在外
故选C．
【名师点拨】
此题考查的是点与圆的位置关系，掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
6．（2021·浙江九年级期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）.
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定
【答案】A
【提示】
欲求点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离d，再与半径8cm进行比较.若dr，则点在圆外.21·世纪*教育网
【详解】
解：∵圆的半径是，点和圆心的距离为，
∵＞，
∴点在圆内，
故选A.
【名师点拨】
本题主要考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键.
7．（2021·浙江杭州市·九年级期末）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【提示】
根据点与圆的位置关系可得出AB=∣a﹣6∣＜4，解之即可解答．
【详解】
解：∵点A在内，
∴AB=∣a﹣6∣＜4，即﹣4＜a﹣6＜4，
解得：2＜a＜10，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查点与圆的位置关系、数轴上两点间的距离、解一元一次不等式组，熟练掌握点与圆的位置关系是解答的关键．
8．（2021·安徽九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
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A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【提示】
首先证明△ACB是直角三角形，根据直角三角形的外心是斜边的中点即可解决问题．
【详解】
由题意可知，∠BCN=60°，∠ACN=30°，
∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心是斜边AB的中点，
∵点Q是AB中点，
∴△ABC的外心是点Q，
故选B．
【名师点拨】
本题考查三角形的外心与外接圆、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2·1·c·n·j·y
9．（2020·浙江九年级期末）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
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A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
【答案】B
【详解】
试题提示：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
考点：三角形外心
10．（2020·内蒙古乌兰察布市·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
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A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【提示】
首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O＝2∠A，进而可得答案．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝70°，
∴∠A＝180° 70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
【名师点拨】
此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
11．（2020·杭州市九年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
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【答案】
【解析】
如图，
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根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径==．
故答案为.
名师点拨：此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径．
12．（2020·浙江绍兴市期末）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
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【答案】5.
【详解】
试题提示：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
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以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为5．
13．（2020·江苏泰州市·九年级期末）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．21cnjy.com
【答案】5
【提示】
根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．
【详解】
由勾股定理得：AB＝＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这个三角形的外接圆半径长为5，
故答案为5．
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【名师点拨】
本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.
14．（2020·福建省 ( http: / / www.21cnjy.com )仙游县期末）一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是______．21·cn·jy·com2·1·c·n·j·y
【答案】6.5cm或2.5cm
【详解】
试题解析：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
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①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9 4=5cm，因而半径是2.5cm.
故答案为6.5cm或2.5cm.
15．（2020·江苏泰兴 ( http: / / www.21cnjy.com )市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______．
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【答案】0＜x＜3
【提示】
要确定点与圆的位置关系，主要根据 ( http: / / www.21cnjy.com )点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD= =5．
∵点A、B、C三点都在圆外，
∴0＜x＜3．
故答案为0＜x＜3.
【名师点拨】
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握勾股定理及点与圆的位置关系．
16．（2019·江苏无锡市·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
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【答案】（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D在⊙M内；
【详解】
试题提示：（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标；
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
试题解析：解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM==．
线段MD==＜，所以点D在⊙M内．
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名师点拨：本题考查的是点与圆的位置关系， ( http: / / www.21cnjy.com )坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
17．（2020·河南九年级期中）一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
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【答案】作图见解析.
【详解】
试题提示：首先在圆周上任取三个点A、B、C，然后连接AC和AB，分别作AC和AB的中垂线，两条中垂线的交点就是圆心．
试题解析：解：如图，点O即为所求．
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18．（2020·甘肃九年级期末）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB, CD.
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（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
【答案】（1）图见解析；（2）13．
【提示】
（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦 ( http: / / www.21cnjy.com )的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；www.21-cn-jy.com
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【详解】
解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
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（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
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教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课时24.2.1 点与圆的位置关系
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 ( http: / / www.21cnjy.com ) 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
知识点二 三点定圆的方法
经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
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经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．21教育网21世纪教育网版权所有
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3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．21cnjy.com21教育网
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三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．www.21-cn-jy.com
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给 ( http: / / www.21cnjy.com )定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.【来源：21·世纪·教育·网】21cnjy.com
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
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典例1．（2020·宁波市镇海区九年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )www-2-1-cnjy-com21·cn·jy·com
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
变式1-1．（2020·河北沧州市·九年级期末）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是 2-1-c-n-j-y【来源：21·世纪·教育·网】
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
变式1-2．（2020·福建九年级期中）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）【版权所有：21教育】21·世纪*教育网
A．B． ( http: / / www.21cnjy.com )C． ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
变式1-3．（2020·福州市九年级期中）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
典例2．（2020·北京市九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )【来源：21cnj*y.co*m】www-2-1-cnjy-com
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
变式2-1．（2020·杭州市期末）在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（ ）21*cnjy*com2-1-c-n-j-y
A．5 B．3 C．6 D．4
变式2-2．（2020·杭州市九年级期中）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）21*cnjy*com
A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6
变式2-3．（2020·厦门市九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
典例3．（2020·江苏九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
变式3-1．（2020·宁波市期末）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）【版权所有：21教育】
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
典例4（2020·山西九年级期末）在中，，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．（2020·浙江宁波市期末）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）21教育名师原创作品
A．1 B．2.4 C．2.5 D．5
变式4-2．（2020·广东九年级期末）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．—1
变式4-3．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
典例5．（2021·浙江绍兴市·九年级期末）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
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A． B． C． D．
变式5-1．（2021·河北秦皇岛市·九年级期末）过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内 B．三角形上 C．三角形外 D．以上都有可能
变式5-2．（2020·南通市期末）如图的的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（ ）21·cn·jy·comwww.21-cn-jy.com
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A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心
典例6．（2021·山东济南市 ( http: / / www.21cnjy.com )·九年级期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
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A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
变式6-1．（2020·南京市九年级期中）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是21*cnjy*com
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A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
变式6-2．（2021 温州市期末）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
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A．点P B．点Q C．点R D．点M
1．（2021·江苏苏州市·九年级期末）的直径为，点与点的距离为，点的位置（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
2．（2021·山东省济南市 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
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A． B． C． D．
4．（2021·江苏九年级期末）已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，1为半径作，则（ ）2·1·c·n·j·y
A．点M在上． B．点M在内
C．点M在外． D．点M与的位置关系不能确定．
6．（2021·浙江九年级期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ）.
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定
7．（2021·浙江杭州市·九年级期末）数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（ ）
A．或 B． C． D．
8．（2021·安徽九年级期末）如图，在等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）21·世纪*教育网
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A．点P B．点Q C．点M D．点N
9．（2020·浙江九年级期末）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）【出处：21教育名师】2·1·c·n·j·y
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A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
10．（2020·内蒙古乌兰察 ( http: / / www.21cnjy.com )布市·九年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．40° B．60° C．70° D．80°
11．（2020·杭州市九年级期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
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12．（2020·浙江绍兴市期末）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
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13．（2020·江苏泰州市·九年级期末）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
14．（2020·福建省仙游县期末）一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是______．
15．（2020·江苏泰兴 ( http: / / www.21cnjy.com )市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______．
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16．（2019·江苏无锡市·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．21教育名师原创作品
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
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17．（2020·河南九年级期中）一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
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18．（2020·甘肃九年级期末）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB, CD.21世纪教育网版权所有
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（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
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