【对点教材重点练】24.2.2 直线和圆的位置关系（原卷版+解析版）

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课时24.2.2 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交
切线的性质及判定
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．21·世纪*教育网21cnjy.com
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
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内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
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直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。【出处：21教育名师】21·cn·jy·com
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
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典例1．（2020·西宁市九年级期中）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【详解】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．21*cnjy*com
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
变式1-1．（2020·奈曼旗新镇九年级期中）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
【答案】B
【分析】
本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．2·1·c·n·j·y
【详解】
∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
变式1-1．（2020·张家港市期末）己知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【答案】A
【分析】
在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心到直线的距离，然后再利用d与r的大小关系进行判断；在直线与圆的问题中,充分利用构造的直角三角形来解决问题，直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交.
【详解】
∵的解为x=4或x=-1，
∴r=4，
∵4＜6，即r＜d，
∴直线和⊙O的位置关系是相离.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式，掌握直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键.
变式1-4．（2020·南昌市九年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ）
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A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
【答案】C
【详解】
过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
故选C．
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典例2．（2020·福建省仙 ( http: / / www.21cnjy.com )游县期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【详解】
试题分析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=R；
∵S△ABC=AC BC=AB r；
∴r=2.4cm，
故选B．
变式2-1．（2020·南京市九年级期末）若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )2-1-c-n-j-y
A．a<－1 B．a＞3 C．－1 【答案】C
【分析】
根据点与圆的位置关系，点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，计算解决即可.
【详解】
点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心，2为半径的圆内所以－1故答案选C
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系,当点到圆心的距离小于半径的距离时,点在圆内.
变式2-2．（2019·新疆九年级期末）如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切 （ ）
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A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】
作PC⊥AB于点C，由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即可求得PA的长，再分点P向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】
连接，作于点，由垂径定理得：
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，
在直角中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴的半径是2．
将向上平移，当与轴相切时，平移的距离；
将向下平移，当与轴相切时，平移的距离．
故选D．
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．
典例3．（2021·江苏扬州市·九年级期末）若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足（　　）【版权所有：21教育】
A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5
【答案】A
【分析】
直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可．
【详解】
解：∵直线l与⊙O的位置关系是相交，
∴d＜r，
∵r=5，
∴d＜5，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的位置关系的判定是解答此题的关键．
变式3-1．（2020·福建省仙游县期末）设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )
A．d=m B．d>m C．d> D．d<
【答案】C
【分析】
圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.
【详解】
∵⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离
∴d>
故选C.
变式3-2．（2020·武汉市九年级期末）已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出圆的半径,再根据直线与圆的位置关系与d和r的大小关系即可得出结论．
【详解】
解:∵的直径是8
∴的半径是4
∵直线与有两个交点
∴0≤d＜4（注：当直线过圆心O时，d=0）
故选B．
【点睛】
此题考查的是根据圆与直线的位置关系求圆心到直线的距离的取值范围，掌握直线与圆的位置关系与d和r的大小关系是解决此题的关键．
典例4．（2020·济南 ( http: / / www.21cnjy.com )市九年级期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
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A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【答案】D
【解析】
试题分析：连接OA，如图：
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∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
变式4-1．（2020·江苏省无锡市九年级期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）
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A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
【答案】D
【分析】
利用圆心到直线的距离等于半径即可．
【详解】
设圆与直线b交于A、B两点，
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1，
当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切，
当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切．
故选：D．
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【点睛】
本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题．
变式4-2．（2021·江苏无锡市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ）
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A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s
【答案】C
【分析】
平移分在x轴的下方和x轴的上方两种情况写出答案即可．
【详解】
解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s；
当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
典例5．（2020·江苏淮 ( http: / / www.21cnjy.com )安市·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】D
【分析】
根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
变式5-1．（2020江苏九年级期中）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
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A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】B
【分析】
根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360° 90° 90° 110°＝70°．
故选B．
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【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
变式5-2．（2021合肥 ( http: / / www.21cnjy.com )市九年级期中）如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )
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A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】D
【详解】
分析：由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．21·cn·jy·com
详解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选D．
点睛：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
典例6．（2021·广东九年级期末）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．21*cnjy*com
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
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【答案】(1) AC=4；(2)详见解析.
【分析】
（1）首先根据直径所对的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
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【点睛】
本题考查的知识点是切线的判定方法，解题关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
变式6-1．（2020· ( http: / / www.21cnjy.com )德州市九年级期中）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
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【答案】（1）2（2）见解析
【解析】
解：（1）连接OB，
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∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°．∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∵OC =2，∴BC=OC=2．
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP．
∴∠CBP=∠CPB．
∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°．∴∠CBP=30°．
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°．∴OB⊥BP．
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
（1）连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长．21教育网
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，从而证得PB是⊙O的切线．
变式6-2．（2020·山东临沂市期末）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
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【答案】（1）详见解析；（2）的直径为．
【分析】
连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论；
利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径．
【详解】
连接OA，如图，
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，
，
又，
，
又，
，
，
，
是的切线．
在中，，
，
又，
，
，
．
的直径为．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、含 ( http: / / www.21cnjy.com )30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
典例7．（2020西安市九年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　）
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A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题解析：连接OE，OF，ON，OG，
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在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A
考点：1.切线的性质；3.矩形的性质．
变式7-1．（2020·广州市九年级期中）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据切线长定理即可得到答案.
【详解】
因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
【点睛】
本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.
变式7-2．（2020·石家庄市九年级期末）如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
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A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】
连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.【版权所有：21教育】
【详解】
连接OE，OF，OG，
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∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
【点睛】
考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
变式7-3．（2020·南 ( http: / / www.21cnjy.com )通市九年级期中）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
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A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【分析】
先根据切线长定理得到PA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
【点睛】
本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式7-4．（2020·甘肃庆 ( http: / / www.21cnjy.com )阳市·九年级期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）
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A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【分析】
由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【详解】
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
变式7-5．（2020·甘州市九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　）
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A．32° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【分析】
根据切线长定理可知CA=CD，求出∠CAD，再证明∠DBA=∠CAD即可解决问题．
【详解】
解：∵CA、CD是⊙O的 ( http: / / www.21cnjy.com )切线，
∴CA=CD，
∵∠ACD=48°，
∴∠CAD=∠CDA=66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠DBA=∠CAD=66°，
故选D．【来源：21cnj*y.co*m】【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质、直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．www.21-cn-jy.com
变式7-6．（2020·河北九年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
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A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【分析】
先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】
∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r ，
连接AO，BO，CO，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r =4，
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
变式7-7．（2020·厦门市九年级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【答案】C
【详解】
试题解析：根据勾股定理得：斜边为
则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径 (步)，即直径为6步，
故选C
变式7-8．（2020·建始县九年级期末）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）21教育名师原创作品
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A．100° B．130°
C．50° D．65°
【答案】B
【分析】
根据三角形的内切圆得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，进一步求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解答此题的关键．
典例8．（2020·义马市九年级期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　）
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A．3 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】
延长FO交AB于点G，根据折叠对 ( http: / / www.21cnjy.com )称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
【详解】
解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，www-2-1-cnjy-com
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
变式8-1．（2020·黄 ( http: / / www.21cnjy.com )石市九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
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A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【详解】
分析：由点I是△ABC的内心知∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
变式8-2．（2020·泰兴 ( http: / / www.21cnjy.com )市九年级期中）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）．21教育网www.21-cn-jy.com
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A．35° B．55° C．70° D．125°
【答案】C
【分析】
根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题．
【详解】
连接OD，OF，如下图所示
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∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F
∵∠DEF＝55°
∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°
∵四边形ADOF
∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°
∵AD，AF是圆的切线
∴∠ADO＝∠AFO＝90°
∴∠A＝360°-90°-90°-110°＝70°
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内切圆、圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心角、圆周角、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和性质，从而完成求解．2-1-c-n-j-y
变式8-．（2019·邯郸市九年级月考）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．
【详解】
解：设，
∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，
，
，，
在中，，解得，
即的长度为．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆与内心：三角形的内 ( http: / / www.21cnjy.com )心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．【来源：21·世纪·教育·网】
30．（2020·合肥市九年级期末）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径==1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．21*cnjy*com
【详解】
解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径==1，
∴S△ABC=AC BC=×4×3=6，
S圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率= ，
故选B．
【点睛】
本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.
1．（2021·山东德州市·九年级期末）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )
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A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】设光盘圆心为O，连接OC， ( http: / / www.21cnjy.com )OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．
【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，
根据勾股定理得：OB=3，
则光盘的直径为6，
故选D.
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【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
2．（2021·江苏九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】
设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
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【点睛】
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
3．（2021·保定市九年级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）
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A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【详解】
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
【点睛】
本题考查内心的定义．
4．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是(　　)
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A．23° B．44° C．46° D．57°
【答案】B
【分析】
连接OC，由切线的性质可得∠OCD=90°，由圆周角定理可求得∠COD的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案.
【详解】
连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠COD=2∠A=46°，
∴∠D=90°﹣46°=44°，
故选B．
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【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
5．（2021·大连市九年级期末）如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦AB的长是（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】
解：，PB为的切线，
，
，
为等边三角形，
．
故选C．
【点睛】
本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
6．（2021东营市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（　　）
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A．28° B．30° C．31° D．32°
【答案】C
【分析】
连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再利用互余计算出∠AOB=62°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
【详解】
解：连接OB，如图，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-28°=62°，
∴∠ACB=∠AOB=31°．
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故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
7．（2021·河北九年级期末）如图，中，，点是的内心，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，先得到，再由内心的性质，得到，即可求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∵点是的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内心的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．21cnjy.com21*cnjy*com
8．（2021·南昌市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】A
【分析】
这条直线与这个圆的位置关系只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可．
【详解】
∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径r为6cm，
如果圆心O到一条直线的距离d为7cm，
d>r，
这条直线与这个圆的位置关系是相离．
故选择：A．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系问题，掌握点到直线的距离与半径的关系是关键．
9．（2021·安徽合肥市·九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(　　)
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A．5 B．5 C．5 D．
【答案】A
【详解】
解：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD=AO=2.5，∴AD= =，∴AC=2AD=，故选A．
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点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．
10．（2021·江苏常州市期末）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据平行线间的距离相等，先在OE上取一点D,使DE=2，过点D作AB⊥OC交圆O于A、B两点，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数．
【详解】
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如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l的距离为3，
∴CE=2，
在OE上取一点D,使DE=2，过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，
故答案为3．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定，做好本题的关键是根据题意画出简图．
11．（2021·南京市九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________ cm．
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【答案】5
【详解】
如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
12．（2021·湖南长沙市九年级期末）如图，中，，，，则的内切圆半径为________．
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【答案】
【分析】
先由勾股定理求出AB的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF是正方形，然后利用切线长定理求得半径r即可．
【详解】
如图，
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∵在，，，
∴由勾股定理得：，
∵圆O为的内切圆，
∴，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
，
即：，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．21世纪教育网版权所有
13．（2021·云南九年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P=________度．
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【答案】60
【分析】
连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°-∠AOB=60°．
【详解】
解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60．
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本题利用了圆周角定理，切线的性质，四边形的内角和为360度求解．
14．（2021·北京房山区·九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度数为_____．
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【答案】30°
【分析】
先利用切线的性质得到∠CAP ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，则利用互余计算出∠PAB=75°，再根据切线长定理得到PA=PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P的度数．
【详解】
∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP=90°，
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-15°=75°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠PAB=75°，
∴∠P=180°-75°-75°=30°．
故答案为30°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
15．（2021·长沙市九年级期末）《九 ( http: / / www.21cnjy.com )章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
【答案】6
【分析】
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】
解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
考点：三角形的内切圆与内心．
16．（2021·河南省直辖县级行政单位 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期末）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．2·1·c·n·j·y
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【详解】
（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
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∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=OAAC=OCAE，
∴AE=，
∴OE=，
∴BE=BO+OE=，
∴AB=．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
17．（2021·江西九年级期末）如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．21·世纪*教育网
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
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【答案】(1)见解析；(2)
【分析】
(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线；
(2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论．
【详解】
(1)证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
(2)解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
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【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
18．（2020·广州市九年级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．www-2-1-cnjy-com
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
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【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．
【分析】
（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
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【点睛】
本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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教材知识链接
典例及变式
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课时24.2.2 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直线与相交
切线的性质及判定
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
三角形内切圆概念：和三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2·1·c·n·j·ywww.21-cn-jy.com
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
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内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
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直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。【来源：21cnj*y.co*m】21cnjy.com
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
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典例1．（2020·西宁市九年级期中）已知⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）2-1-c-n-j-y2·1·c·n·j·y
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
变式1-1．（2020·奈曼旗新镇九年级期中）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（　　）【出处：21教育名师】2-1-c-n-j-y
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离
变式1-1．（2020·张家港市期末）己知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是21*cnjy*com21·世纪*教育网
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
变式1-4．（2020·南昌市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
典例2．（2020·福建省仙游县期末）R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）【出处：21教育名师】
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
变式2-1．（2020·南京市九年级期末）若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a＞3 C．－1 变式2-2．（2019·新疆九年级期末）如图，平面直角坐标系中，与轴分别交于、两点，点的坐标为，．将沿着与轴平行的方向平移多少距离时与轴相切 （ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1 B．2 C．3 D．1或3
典例3．（2021·江苏扬州市·九年级期末）若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足（　　）21·世纪*教育网
A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5
变式3-1．（2020·福建省仙游县期末）设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )【版权所有：21教育】
A．d=m B．d>m C．d> D．d<
变式3-2．（2020·武汉市九年级期末）已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（ ）
A． B． C． D．
典例4．（2020·济南市九年级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
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A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
变式4-1．（2020·江苏省无锡市九年级期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）21教育名师原创作品
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A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
变式4-2．（2021· ( http: / / www.21cnjy.com )江苏无锡市·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ）
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A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s
典例5．（2020·江苏 ( http: / / www.21cnjy.com )淮安市·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．80°
变式5-1．（2020江苏九年级期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )21世纪教育网版权所有
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变式5-2．（2021合肥市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )
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A．30° B．35° C．40° D．45°
典例6．（2021·广东九年级期末）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．21cnjy.com
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
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变式6-1．（2020·德州市九年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．21·cn·jy·com
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
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变式6-2．（2020·山东临沂市期末）如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．www-2-1-cnjy-com
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
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典例7．（2020西安市 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　）
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A． B． C． D．
变式7-1．（2020·广州市九年级期中）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．3 C．4 D．5
变式7-2．（2020·石家庄市九年级期末）如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
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A．5 B．6 C． D．
变式7-3．（2020·南 ( http: / / www.21cnjy.com )通市九年级期中）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
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A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
变式7-4．（2020·甘肃庆 ( http: / / www.21cnjy.com )阳市·九年级期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）
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变式7-5．（2020·甘州市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　）
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A．32° B．48° C．60° D．66°
变式7-6．（2020·河北九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
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A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
变式7-7．（2020·厦门市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)21教育名师原创作品21*cnjy*com
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
变式7-8．（2020·建始县九年级期末）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
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A．100° B．130°
C．50° D．65°
典例8．（2020·义马市九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　）
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A．3 B．4
C． D．
变式8-1．（2020·黄石市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）21教育网
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A．56° B．62° C．68° D．78°
变式8-2．（2020·泰兴市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）．
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A．35° B．55° C．70° D．125°
变式8-3．（2019·邯郸市九年级月考）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　）
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A． B． C． D．
变式8-4．（2020·合肥市九年级期末）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.21世纪教育网版权所有
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A． B．
C． D．
1．（2021·山东德州市·九年级期末）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )21教育网
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A．3 B． C． D．
2．（2021·江苏九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
3．（2021·保定市九年级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）
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A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
4．（2021·江西赣州市·九年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是(　　)
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A．23° B．44° C．46° D．57°
5．（2021·大连市九年级期末）如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦AB的长是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
6．（2021东营市九年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（　　）
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A．28° B．30° C．31° D．32°
7．（2021·河北九年级期末）如图，中，，点是的内心，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
8．（2021·南昌市九年级期末）已知⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（ ）【版权所有：21教育】
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
9．（2021·安徽合肥市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(　　)
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A．5 B．5 C．5 D．
10．（2021·江苏常州市 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）21*cnjy*com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·南京市九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________ cm．
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12．（2021·湖南长沙市九年级期末）如图，中，，，，则的内切圆半径为________．【来源：21·世纪·教育·网】21*cnjy*com
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13．（2021·云南九年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P=________度．
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14．（2021·北京房山区·九年级期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度数为_____．
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15．（2021·长沙市九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
16．（2021·河南省 ( http: / / www.21cnjy.com )直辖县级行政单位九年级期末）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
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17．（2021·江西九年级期末）如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
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18．（2020·广州市九年级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
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